Amables matemáticas (2). 4 Ideas para empezar con buen pie el aprendizaje de las matemáticas.


Hoy os presentamos otro libro estupendo, muy diferente del de la semana pasada. Es un libro breve, en una edición muy sencilla, pero que no tiene desperdicio.

ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS EN LOS CURSOS 1º Y 2º DE PRIMARIA EN LAS ESCUELAS WALDORF.

 

El título es largo pero muy concreto:

ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS EN LOS CURSOS 1º Y 2º DE PRIMARIA EN LAS ESCUELAS WALDORF.

    El autor, Ernst Schuberth, recoge aquí las reflexiones de su larga experiencia como maestro y como formador de maestros. El resultado es un libro que ofrece claves muy certeras sobre la enseñanza de las matemáticas en los primeros años escolares, en particular sobre problemas que están en el punto de mira de la investigación en la didáctica de esta materia.

      De este libro hemos seleccionado 4 ideas que nos han parecido muy interesantes y útiles para la presentación de los primeros contenidos matemáticos en la enseñanza primaria. Son muy sencillas y podéis ponerlas en práctica en casa o en el aula sin ninguna dificultad.

      Vamos allá:

      1. Juego con dedos para introducir las primeras actividades de suma y resta.
      2. Suma analítica vs. suma sintética: casitas de números.
      3. Introducción simultánea de las cuatro operaciones básicas.
      4. Utilización de narraciones para introducir tareas matemáticas.
      1. Juego de manos

        El autor nos propone esta actividad para realizarla desde los primeros días de clase, en cuanto se hayan introducido los cinco primeros números.

        Consiste en agarrar algunos dedos de la mano de un alumno o alumna.

         

        El alumno, sin mirarse las manos, tiene que responder a las preguntas:

        ¿Cuántos dedos te estoy agarrando?

        ¿Cuántos dedos te quedan libres?

        En cuanto se hayan introducido los diez primeros números podremos jugar con las dos manos. En este caso podemos agarrar dedos de una mano o de las dos. Si agarramos dedos de las dos manos la dificultad es mayor.

        Probad a hacerlo en casa, también entre adultos, y veréis que es menos trivial de lo que parece. Hay que concentrarse bastante para percibir qué dedos están agarrados y qué dedos están libres. Esto implica tomar conciencia de la percepción sensorial, algo que merece la pena ejercitar con niños de estas edades.

        Pero además, fijaos en las operaciones que está haciendo el alumno cuando juega a este juego:

        • Percibir cuántos dedos nos están agarrando, de una mano o de las dos.
        • Sumar los dedos que nos están agarrando de cada mano.
        • Calcular la diferencia entre el número de dedos agarrados y diez.

        Este es un ejercicio estupendo de sumas y restas y, en particular, es una práctica fabulosa para empezar a memorizar los complementarios a diez, un conocimiento imprescindible para el cálculo.

        1. Casitas de números

        Fijaos en esta manera de presentar la suma:

        9 + 7 = 16

        Y ahora fijaos en esta otra:

        La primera opción es sintética, la segunda es analítica.

        Ernst Schuberth nos expone en su libro las ventajas de presentar a los niños la suma de forma analítica. Las reunimos en esta tabla:

        ANALÍTICA

        SINTÉTICA

        Tiene múltiples soluciones correctas.

        Tiene solo una solución correcta.

        La respuesta se puede construir entre varios, de manera participativa.

        La respuesta se construye de manera individual.

        La respuesta es abierta y puede variar en relación al carácter y la inclinación del alumno.

        La respuesta es cerrada. No deja opciones para las manifestaciones personales.

        Ofrece al alumno una experiencia de diversidad de pensamiento al poner de manifiesto que un problema puede tener distintas soluciones válidas.

        No facilita la experiencia de que pensamientos diversos pueden ser igualmente válidos.

        Favorece el pensamiento colaborativo.

        No favorece el pensamiento colaborativo.

         

        Aunque no hay que renunciar a practicar la suma sintética, esperamos que a partir de ahora incorporéis también a vuestras actividades las casitas de números.

        1. Las cuatro operaciones básicas

        En la escuela Waldorf, las cuatro operaciones básicas de la aritmética (suma, resta, multiplicación y división) se introducen simultáneamente. Esto se hace así, en parte, porque cada operación estimula un aspecto del temperamento de los alumnos y se considera adecuado atender a todos esos aspectos simultáneamente.

        Matemáticas amables: operaciones + y -

        Por otra parte, las cuatro operaciones están íntimamente relacionadas entre sí y resulta natural, por lo tanto, permitir que esas relaciones hagan aparecer unas operaciones vinculadas con otras.

        Es fácil percibir que la suma y la resta son operaciones inversas. La multiplicación es un tipo concreto de suma, en la que los sumandos son siempre iguales. Y la división es la inversa de la multiplicación.

        página interior del libro ¿qué es multiplicar?

        Es importante no confundir la operación en sí con el mecanismo que usamos para realizarla. Una cosa es el concepto de “sumar” y otra cosa es aprender a realizar el algoritmo de la suma. Por supuesto, los algoritmos de la multiplicación y de la división se aprenden en cursos más avanzados.

        Conseguir que el alumnado comprenda el concepto de cada operación es fundamental a la hora de resolver problemas. El paso decisivo en la resolución siempre va a ser, tras haber comprendido la cuestión planteada, identificar cuál es la operación u operaciones que hay que aplicar para resolverla.

        Ya desde el primer curso de primaria es posible y conveniente ofrecer al alumnado situaciones de resolución de problemas en los que aparezcan las cuatro operaciones. Esto se puede hacer de manera muy atractiva a través de narraciones, tal y como veremos en el siguiente apartado.

        Pero antes, nos gustaría llamar la atención sobre una idea relacionada con las operaciones que nos ha parecido muy interesante. Desde niños hemos oído y creído que tanto la suma como la multiplicación son operaciones que cumplen la propiedad conmutativa, es decir, el orden de los sumandos no altera la suma y el orden de los factores no altera el producto. Pues en este libro nos cuentan que esto no es así. Os lo vamos a demostrar con dos ejemplos.

        Para demostrar que el orden de los sumandos no es indiferente solo tenemos que pensar en alguien que tiene 1€ y recibe 1.000.000€. A continuación, pensemos en alguien que tiene 1.000.000€ y recibe 1€. Estas dos situaciones nos dejan claro que no es lo mismo sumar 1 a 1.000.000 que sumar 1.000.000 a 1.

        Para ilustrar esto mismo en el caso de la multiplicación, tenemos un ejemplo estupendo en nuestro cuaderno ¿Qué es multiplicar?

        Página interior del libro ¿Qué es multiplicar?

        Para ambos casos, Ernst Schubert nos aclara que el signo = no se refiere a los procesos sino a los resultados finales. Es importante para los alumnos en edad escolar tener en cuenta estos matices desde el principio de su aprendizaje.

        1. Echarle cuento a las matemáticas

        Una de las propuestas que más nos han gustado de este libro es la de presentar las tareas a los escolares a través de pequeñas narraciones.

        El autor nos pone como ejemplo la historia que él mismo inventó para ofrecérsela a su alumnado. Reproducimos aquí un fragmento:

        Había una vez una familia de granjeros que vivía en las montañas. Su vida no era fácil y todos los miembros de la familia tenían que trabajar mucho. Incluso los niños, que eran tres, tenían que ayudar siempre que podían. El padre cuidaba de las vacas, las ordeñaba por la mañana y por la noche, ayudaba a la madre a hacer queso y reparaba el granero y la casa cuando hacía falta. La madre se ocupaba de las tareas de casa, cuidaba el huerto, hacía queso con la leche de la vaca y muchas otras cosas. El abuelo cuidaba de las cabras y de las ovejas, la abuela cuidaba de las gallinas y los niños ayudaban a todos: buscaban los huevos que las gallinas se empeñaban en esconder fuera del gallinero, recolectaban fresas y frambuesas y recogían leña para la chimenea. Cuando llegaba el tiempo de la siega, toda la familia subía a los pastos donde el padre y el abuelo ya habían segado el heno. Entre todos lo extendían por el campo para que se secara rápidamente. Cuanto antes se secaba el heno, mejor olía a sol y a flores y más les gustaba a las vacas, y a las cabras y a las ovejas que se lo comían en sus pesebres cuando llegaba el invierno y todo se cubría de nieve.

        Quizás os parezca que esta es una introducción demasiado larga para no presentar ninguna tarea matemática. Pero pensad que de esta manera conseguimos dos cosas importantes:

        1. Los detalles minuciosos permiten que los alumnos se recreen y se identifiquen con la situación que esta narración les presenta. Esto va a incentivar mucho su predisposición a resolver los problemas que más adelante se plantearán utilizando este escenario.
        2. La riqueza en la descripción de la situación y de los personajes y sus tareas nos proporciona un montón de oportunidades de crear problemas matemáticos muy variados.

        Nos encantaría mostraros todo el relato, de principio a fin, tal y como aparece en el libro, pero esta entrada se extendería demasiado, así que vamos a resumir algunos fragmentos en los que se proponen tareas matemáticas interesantes.

        Al pie de la montaña donde está la granja, hay un valle y en el valle hay un pueblo. En el pueblo están la iglesia y la escuela y allí viven algunos artesanos y algunos granjeros, y también un panadero que cuece el pan dos días a la semana. Los viernes, los niños de la granja van al pueblo, que está a una hora de distancia caminando, a comprar pan para toda la semana. Compran 6, 7 u 8 hogazas y las distribuyen en sus mochilas para llevarlas en el camino de vuelta a casa.

        La tarea que se propone a los alumnos es que busquen la mejor manera de repartir las hogazas para llevarlas a casa, teniendo en cuenta que los niños de la granja tienen diferentes edades y que el peso que puede cargar cada uno depende de la edad y la fuerza que tenga. Fijaos que no se trata de dividir, pues no queremos que hagan partes iguales, sino equitativas. ¡Qué buena ocasión para hablar de igualdad y equidad!

        Sigamos, porque la siguiente propuesta también tiene su gracia.

        Ir a la escuela es difícil para los niños de la granja. Tienen que caminar durante una hora para llegar al pueblo. A veces hace sol, a veces llueve y a veces nieva. Cuando hay nieve pueden bajar esquiando, pero a la vuelta tienen que arrastrar los esquís cuesta arriba. En primavera, cuando la nieve se derrite, el valle se inunda y es peligroso bajar al pueblo. Los niños colocan piedras en los arroyos para cruzar saltando de piedra en piedra sin mojarse los pies. Uno de los arroyos lleva tanta agua que han tenido que colocar 12 piedras.

        Ahora los alumnos tienen que imaginar que cada hermano, dependiendo de su edad, de lo largas que tenga las piernas y de lo valiente que sea, puede saltar las piedras de una en una o de varias en varias. Así como en la tarea anterior teníamos un ejercicio de descomposición aditiva, ahora tenemos uno de descomposición multiplicativa.

        Matemáticas amables: Descomposición del 12

        Si un niño pasa por las piedras de 1 en 1, tendrá que dar 12 pasos para cruzar el arroyo. Pero ¿y si salta de 2 en 2? ¿Y de 3 en tres? De esta forma, estamos descomponiendo el número 12 en factores de una manera que incluso un alumno de primer curso puede visualizar y comprender.

        La historia continúa a lo largo de muchas clases, quizás todo un trimestre o incluso todo el curso. La imaginación de la maestra irá haciendo crecer la historia incorporando a familiares que vienen de visita, nuevos hermanitos que nacen, contratiempos que ocurren, etc. Las posibilidades son infinitas.

        Esta manera de presentar las tareas matemáticas a los niños en los primeros cursos contribuye a hacer visible su relación con el mundo real, algo fundamental a la hora de generar interés por esta materia a estas edades, tal y como mencionábamos también en nuestra entrada de la semana pasada.

        Dejamos para la próxima semana un tema que también trata este libro y que tiene una enorme relevancia: el planteamiento y análisis de problemas. Se trata de un aspecto que da para mucho en la didáctica de las matemáticas, así que le dedicaremos una entrada completa.


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