Amables matemáticas (6): Matemáticas en acción (2). Aprender aritmética jugando y saltando.


Esta semana vamos a seguir hablando de este libro tan especial, lleno de ideas geniales para utilizar en las primeras clases de educación primaria.

https://didaktika.waldorfskaskola.sk/files/active-arithmetic-henning-andersen.pdf

Active arithmetics! Libro con ideas para enseñar matemáticas en primaria de forma lúdica y dinámica

Hace dos semanas os presentamos el libro y comentamos varias actividades lúdicas y dinámicas muy interesantes que servían de base para comprender el sistema de numeración, las tablas de multiplicar y algunas relaciones entre los números.

Como todo maestro Waldorf sabe, en una sesión de clase es importante alternar actividades dinámicas y rítmicas con actividades más introspectivas, como en un proceso de respiración en el que hay un tiempo de expiración y otro de inspiración. Por eso el autor, Henning Andersen, después de mostrarnos un montón de propuestas que implican actividad física, nos ofrece otras en las que los alumnos pueden interiorizar, a través de la manipulación y el dibujo, lo que han experimentado antes con el movimiento y el ritmo. 

Saltar con los pies, con la vista y con el pensamiento

Muchas de las actividades dinámicas que se hacen corriendo, saltando y cambiando de posición se pueden trasladar después al cuaderno. Un ejemplo de esto sería trazar en una hoja de papel una línea corre-números y saltar con el lápiz de 2 en 2, de 3 en 3, de 4 en 4, etc. Es un ejercicio que el autor ya nos ha explicado cómo hacer dejando que sean los alumnos los que salten de número en número, tal y como vimos en la entrada anterior.

aprender las tablas de multiplicar de manera manipulativa y dinámica

Cuando los niños saltan con intervalos breves, como 3 ó 4, la actividad es más sencilla que al pasar a intervalos mayores. Pronto los alumnos se dan cuenta de que la vista puede saltar de número en número más rápidamente que los pies. Finalmente, llegarán a descubrir que el medio más rápido para saltar es el pensamiento. Con el pensamiento podemos saltar sin límite, no importa cuán grande sea el intervalo, pero también nos damos cuenta de que hay que hacerlo con cuidado, pues es fácil cometer errores cuando uno va rápido, sobre todo con números grandes.

En el capítulo 8 Henning nos propone algunas actividades manipulativas muy interesantes y atractivas. En realidad, el autor realiza estas actividades primero con los alumnos en movimiento, y después las lleva al ámbito manipulativo usando nueces como elemento de cómputo. Vamos a ver una de ellas en detalle. 

Cuadrado-triángulo-cuadrado

Se entrega a cada niño un puñado de 12 nueces y se les pide que las coloquen en una forma que sea rectangular.

actividades manipulativas para aprender matemáticas en primaria

Cuando han encontrado esta forma, observamos que 12 está compuesto de tres hileras de 4 nueces. Los niños lo expresan diciendo “12 es 4 y 4 y 4”. También observamos que 12 está compuesto de cuatro columnas de 3 nueces, es decir, “12 es 3 y 3 y 3 y 3”. Pedimos después que encuentren otras maneras de distribuir las 12 nueces, para que averigüen las otras descomposiciones posibles del número 12.

jugar con nueces para construir las tablas de multiplicar

Otro día, preguntamos a la clase cuántas nueces son necesarias para formar un cuadrado que tenga el mismo número de nueces en las filas y en las columnas. Es probable que quieran probar con el número 9.

matemáticas manipulativas números cuadrados

Con esta disposición, observamos que tanto si contamos las filas como si contamos las columnas, siempre decimos “9 es 3 y 3 y 3”. Dejamos que averigüen qué otros números de nueces permiten hacer disposiciones cuadradas. Encontrarán los números 4, 16 y 25. Es posible que el número 1 dé lugar a una discusión interesante.

Volvemos a la disposición del 9 y les invitamos a hacer este cambio:

actividades de sumar y restar originales e innovadoras

Después podemos hacerlo también con el 16

actividades divertidas para practicar la suma y la resta

Y con el 25

actividades de matemáticas de primaria para experimentar con los números

Sin olvidarnos del 4

jugar con los números geometría primaria cuadrado y triángulo

Mirando los triángulos que hemos formado y contando línea a línea, observamos esto:

1 = 1

4 = 1 + 3

9 = 1 + 3 + 5

16 = 1 + 3 + 5 + 7

25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9

También podemos observar que en el cuadrado con 4 nueces, para formar el triángulo, hemos tenido que mover 1 nuez. Para formar el triángulo de 9 nueces, hemos movido 3 nueces (2 más que en anterior). Para el triángulo de 16, hemos movido 6 nueces (3 más que en el anterior). Y para el triángulo de 25, hemos movido 10 nueces (4 más que en el anterior).

¿Y qué ocurre si contamos las líneas verticalmente? Entonces tendremos:

1 = 1

4 = 1 + 2 + 1

9 = 1 + 2 + 3 + 2 + 1

16 = 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1

25 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

Podemos escribir esto mismo haciendo una figura mucho más bonita, una pirámide de números:

1
1 + 2 + 1
1 + 2 + 3 + 2 + 1
1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

 

Después de hacer esto, proponemos colocar las nueces siguiendo el orden de los números de la pirámide. Las 9 nueces, por ejemplo, quedarán así:

juegos para practicar la suma y la resta

Descubrimos, entonces, que es la misma figura cuadrada del principio, solo que girada sobre una de sus esquinas.

Todo este recorrido nos ha permitido trabajar mucho con sumas y restas, además de la multiplicación. Y seguramente ha despertado más interés e implicación en los escolares que otros ejercicios de aritmética más convencionales.

Divide y vencerás

En otra sección del libro encontramos una explicación muy interesante sobre por qué es conveniente trabajar con los niños pequeños desde una perspectiva analítica. Esta perspectiva la hemos explicado brevemente en el punto 2 de esta entrada de blog

Para Henning, el enfoque analítico es el más coherente con la esencia del niño pequeño. El método analítico permite a los escolares de los primeras clases desplegar su capacidad imaginativa y les ofrece oportunidades de tomar decisiones y experimentar con las consecuencias de esas decisiones. Además, es motivador para ellos el esfuerzo por encontrar todas las respuestas posibles y averiguar cuándo ya no hay más posibilidades. En contraste, el método sintético conduce al niño hacia una única respuesta que los demás ya conocen. La actividad se dirige a hallar esta única respuesta válida mientras que en la perspectiva analítica el objetivo es la actividad y la experimentación por sí mismas. Aunque los alumnos deben aprender con ambos enfoques, es conveniente empezar por el analítico.

Otra consideración a tener en cuenta es que la visión del niño pequeño siempre parte del todo. Por eso, un excelente punto de partida para enseñar aritmética es dar a un niño un pedazo de arcilla y pedirle que lo divida en partes iguales.

matemáticas manipulativas para comprender el concepto de potencia

El pedazo se convierte en dos pedazos que se pueden volver a dividir. Tendremos así cuatro pedazos. Si los volvemos a dividir tendremos ocho. Podemos seguir dividiendo y también utilizar los pequeños pedazos que hemos obtenido para hacer múltiples cálculos.

Después, podemos volver a la unidad y repetir la actividad dividiendo cada pedazo en tres.

cómo explicar a los alumnos de primaria el concepto de potencia con actividades manipulativas

Los números que obtenemos a través de estas divisiones son potencias del número de partes en que dividimos. Esta actividad resulta muy interesante para presentar, en cursos superiores, este concepto.

Podemos seguir trabajando con el trozo de arcilla de la siguiente manera. Le pedimos a los alumnos que dividan el pedazo único en 24 trozos. Esta tarea pone en marcha inmediatamente el sentido numérico. Además, igual que en la suma analítica, las respuestas son múltiples.

Podemos dividir el pedazo en mitades tres veces para obtener ocho trozos y después, dividir cada uno de estos ocho en tres.

actividad de matemáticas manipulativas para explicar cómo se descompone un número en factores

¿Y si intentamos dividir un pedazo en 50 partes?

Entonces tendremos que partirlo por la mitad, después dividir cada una de esas mitades en cinco trozos y cada uno de esos cinco, en otros cinco.

actividad manipulativa para descomponer un número en factores

El nivel de dificultad de esta actividad es muy flexible y puede adaptarse fácilmente a la edad, la capacidad y los conocimientos de los alumnos. Dependiendo de estas variables, las estrategias que escojan serán más o menos sofisticadas. Se podría incluso dividir un pedazo directamente en 24 trozos, pero en este caso el conocimiento numérico implícito es mucho menor.

¿Y qué ocurrirá si pedimos a los alumnos que dividan la pieza de arcilla en 19 trozos?

Esta tarea aplicada a un número primo pondrá en marcha una búsqueda siempre infructuosa de divisiones. Tras varios intentos fallidos los escolares llegarán a la conclusión de que este número es especial. ¿Hay otros números que se comporten también de esta manera?

Si les recordamos la actividad en la que, sobre la línea del corre-números iban marcando saltos de 2 en 2, de 3 en 3, etc. podemos dirigir su atención hacia aquellos números que nunca pisábamos, fuera cual fuera el intervalo con el que saltáramos. ¿Es una casualidad que esos números sobre los que nunca pisamos sean los mismos que no podemos conseguir dividiendo los pedazos de arcilla en partes iguales?

cómo enseñar los números primos en primaria

Actividades sencillas para comprender conceptos complejos

Esta forma de trabajar a partir de la unidad le da al niño una intuición de la unidad que está escondida en cada número. Esta experiencia manipulativa en los primeros años escolares les puede ofrecer, por ejemplo, una oportunidad de comprender por qué cualquier número elevado a potencia cero es igual a la unidad:

a 0 = 1

De la misma forma, dividir la unidad en, digamos, 28 partes, es la actividad manipulativa previa para comprender la posterior descomposición factorial en factores primos.

*   *   * 

Esperamos que las dos entradas de blog que hemos dedicado a este estupendo libro os hayan dejado una idea de lo que el libro ofrece. Desde nuestro punto de vista, es un libro que muestra una enorme sabiduría por parte de su autor y, al mismo tiempo, una enorme sencillez en su exposición. Las actividades que propone, de las que os hemos ofrecido solo una pequeña muestra, son de lo más accesibles y fácilmente realizables en cualquier aula. Pero creemos que encierran, en su sencillez, un profundísimo conocimiento de la esencia del niño en los primeros años escolares.

La originalidad de las propuestas evidencia la profundidad de este conocimiento y también demuestra un acertado trabajo de investigación, una larga e intensa práctica y una aguda observación y atención puesta sobre los niños cuando llevan a cabo estas actividades.

A nosotras nos gustaría que esta visión de la didáctica de las matemáticas fuera cada vez más conocida y aplicada en la práctica. ¿Qué opináis vosotros? ¿Creéis que son aplicables al aula este tipo de propuestas?

Os animamos a dejar vuestros comentarios.


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