Amables matemáticas (7) Otras formas de multiplicar.


Las cuatro operaciones de la aritmética, que hoy nos parecen tan elementales, han representado durante decenas de siglos, para millones de hombres, un arte oscuro y complejo, reservado a una minoría selecta, generalmente sacerdotal.

Las cifras. Georges Ifrah,

Quizás esta afirmación os parezca exagerada, pero si os paráis a pensar un instante os daréis cuenta de que aunque todos sabemos hacer esas operaciones, muy pocos sabemos por qué se realizan de esa manera y qué razonamiento matemático justifica su funcionamiento.

Desde que descubrí el porqué del mecanismo de las llevadas en el algoritmo de la resta, he empezado a fijarme en los mecanismos de los otros algoritmos, especialmente los de la multiplicación y la división.

Resulta muy interesante indagar y descubrir por qué estas técnicas funcionan y qué conocimientos matemáticos es necesario aplicar para comprender cómo lo hacen. Es como abrir el motor de un coche, o el mecanismo de un electrodoméstico para explorarlo y averiguar el fundamento de su funcionamiento. A mí parece fascinante descubrir la inteligencia y el ingenio que se esconde tras estos mecanismos tan conocidos y tan poco comprendidos.

En esta entrada de blog explicábamos, con un método muy bonito, el sistema de numeración decimal y los algoritmos de suma y resta con y sin llevadas.

Ahora os vamos a mostrar todos los secretos del algoritmo de la multiplicación. Cuando lo hayáis descubierto, os enseñaremos dos técnicas para multiplicar diferentes de la que todos conocemos. Podéis desafiar a vuestra capacidad matemática tratando de descubrir cuál es la base del funcionamiento de estas otras técnicas.

Dos propiedades para multiplicar

Para comprender la técnica de la multiplicación que todos conocemos y usamos, es necesario aplicar dos propiedades muy conocidas.

La primera es la propiedad distributiva. En lugar de explicarla con palabras complicadas os la vamos a mostrar a través de varios ejemplos ilustrados.

Aquí tenemos una cuadrícula de 8 x 6:

entender la multiplicación

Si la coloreamos de esta manera:

comprender la propiedad distributiva de la multiplicación

Vemos claramente que:

6 = 4 + 2

y por lo tanto:

8 x 6 =  8 x (4 + 2)

o lo que es lo mismo:

8 x 6 = 8 x 4 + 8 x 2

representación de la propiedad distributiva de la multiplicaciónPodemos descomponer la cuadrícula en cuantos trozos queramos y la propiedad se sigue cumpliendo:

propiedad distributiva de la multiplicación

La segunda propiedad que hay que conocer y aplicar en el algoritmo de la multiplicación es LA REGLA DE LOS CEROS. Esta regla se deduce de las propiedades del sistema de numeración decimal posicional y según esta, para multiplicar cualquier número por 10, el resultado se obtiene añadiendo un cero como cifra final al número multiplicado:

8 x 10 = 80

35 x 10 = 350

50 x 10 = 500

Y para multiplicar cualquier número por la unidad seguida de ceros, el resultado se obtiene añadiendo al número multiplicado tantos ceros como los que siguen a la unidad:

80 x 100 = 8.000

35 x 1.000= 35.000

50 x 10.000= 500.000

Esta propiedad permite que podamos multiplicar cualquier número conociendo solamente los productos de los números de una cifra, es decir, las tablas de multiplicar del 1 al 9.

La técnica de los recortados y nuestra técnica habitual

Con estas dos propiedades en mente ya podemos deducir un sistema para multiplicar.

Vamos a verlo con un ejemplo: 73 x 35

Descomponemos los números de esta forma:

73 = 70 + 3

35 = 30 + 5

Y los representamos así:

descomposición de números para multiplicar

A continuación multiplicamos recuadro por recuadro:

técnica de los recortados para multiplicarY sumamos los resultados obtenidos en cada recuadro:

2100 + 350 + 90 + 15 = 2555

Una vez comprendido este proceso ya estamos muy cerca de entender el funcionamiento de nuestro algoritmo más conocido:

el algoritmo de la multiplicación y la técnica de los recortados

La técnica que os hemos mostrado se llama técnica de los recortados. En esta técnica se mantiene en todo momento la presencia de los ceros, que son los que marcan el valor de las cifras (unidades, decenas, centenas, etc.). Sin embargo, en la técnica que se usa habitualmente, el valor de las cifras viene dado únicamente por la posición que ocupan. Por eso, uno de los errores más frecuentes al comenzar a utilizar este algoritmo es la colocación incorrecta de las cifras, lo cual lleva a errores en el resultado.

Sea como sea, la comparación entre ambas técnicas pone en evidencia el fundamento matemático en que se basan las dos, que es lo que queríamos mostraros.

Cuando multiplicamos 73 x 35 con la técnica habitual:

conocer el algoritmo de la multiplicación

Empezamos multiplicando 5 x 73. En realidad multiplicamos primero 5 x 3 y, a continuación, 5 x 70. Lo que ocurre es que el cero del 70 está implícito en la posición que ocupa el 7 y, de la misma manera, en la del 35(0) resultante de multiplicar 5 x 7(0)  (al que sumamos la decena que procede de multiplicar 5 x 3).

A continuación, multiplicamos 3(0) x 3 y 3(0) x 7(0). Al colocar el resultado de esta multiplicación desplazado una posición a la izquierda, estamos añadiendo implícitamente un cero a la derecha, y por lo tanto, aumentando un orden el valor de las cifras.

Esto supone una enorme simplificación y eficacia en el cálculo pero, al mismo tiempo, hace más opaco el razonamiento matemático que utiliza, con lo que solo deja al alumno la opción de aprender la técnica de memoria y aplicarla sin comprenderla.

La técnica de la celosía

Ahora que ya hemos comprendido que el fundamento del algoritmo que usamos desde la infancia para multiplicar se basa en la propiedad distributiva y en la regla de los ceros, vamos a mostraros otras dos técnicas que son dos muestras fabulosas de ingenio e inteligencia.

La primera, conocida como técnica de la celosía, fue inventada en el siglo XV por el matemático italiano Luca Pacioli https://es.wikipedia.org/wiki/Luca_Pacioli

Os vamos a explicar cómo se utiliza con varios ejemplos.

Empecemos por multiplicar 356 x 8

Como vamos a multiplicar un número de 3 cifras por uno de 1 cifra, vamos a dibujar una cuadrícula de 3 columnas por 1 fila:

técnica de la celosía paso a paso

Después dividimos cada celda en dos partes trazando una diagonal en cada una:

multiplicar con la técnica de la celosía

Colocamos los números que queremos multiplicar de esta manera:

técnica de la celosía de Luca Pacioli para multiplicar

Se anotan los resultados de multiplicar las cifras 8 x 6, 8 x 5 y 8 x 3 de esta manera:

multiplicar con el método de la celosía de Luca Pacioli

Y por último se suman los resultados siguiendo las diagonales. Nosotros hemos utilizado un código de colores para que se vea claramente qué números se deben sumar juntos:

utilizar el método de la celosía para multiplicar

Veamos cómo lo haríamos para multiplicar un número de 3 cifras por uno de 2 cifras, por ejemplo 625 x 72

En este caso dibujamos una cuadrícula de 3 columnas y 2 filas y dividimos las celdas con diagonales:

la técnica de la celosía de Luca Pacioli paso a paso

Repetimos el mismo proceso que en el ejemplo anterior, fijándonos en la colocación de las cifras:

multiplicar números de varias cifras con el método de la celosía

Por si os queda alguna duda, aquí tenéis el enlace a un vídeo donde lo explican muy clarito.

https://www.youtube.com/watch?v=VCjE4TenVr0

Lo que me parece interesante de esta técnica es que ha conseguido un modo de multiplicar sencillísimo y fácil de aplicar gracias a un mecanismo extraordinariamente ingenioso para colocar las cifras de acuerdo al orden al que pertenecen. Solo tenéis que fijaros en las diagonales para comprender que los números que se escriben en cada diagonal corresponden al mismo orden y que la suma de todos los números que están en la misma diagonal nos da la cifra correspondiente a ese orden en el resultado final de la multiplicación.

Tomemos el último ejemplo mostrado: 625 x 72.

otros métodos para multiplicar

Vamos a empezar analizando los resultados desde la diagonal inferior derecha. La primera cifra que aparece es la unidad resultante de multiplicar 2 x 5, que es cero. En la diagonal inmediatamente superior aparece el 1 que corresponde al orden de las decenas en la multiplicación anterior 2 x 5. En esta misma diagonal aparecen un 5 y un 4. Fijaos en los números de los que proceden esas cifras para confirmar que ambas corresponden al orden de las decenas. Lo mismo podéis confirmar para las cifras que aparecen en las siguientes diagonales, correspondientes a las centenas, unidades de millar y decenas de millar.

¿No os parece que esta técnica es un prodigio de ingenio e inteligencia?

Multiplicar a la sombra de las pirámides

Por último, vamos a mostraros otra técnica para multiplicar que, aunque no resulta práctica hoy en día, supone una muestra muy interesante de cómo se las ingeniaron los egipcios para multiplicar números grandes a pesar de sus limitaciones.

En efecto, los egipcios solo sabían multiplicar directamente por 2, es decir, solo sabían duplicar los números, pero fueron tan ingeniosos que consiguieron encontrar la manera de multiplicar cualquier número usando este conocimiento limitado.

A continuación os mostramos cómo lo hacían.

Vamos a multiplicar 128 x 12.

Para ello, colocamos en una columna uno de los factores, por ejemplo 12. Y en otra columna paralela ponemos un 1.

multiplicación egipcia paso a paso

Vamos duplicando los números de las dos columnas, hasta que en la columna que empezaba con el 1 aparece el número 128, que es el otro factor que queremos multiplicar.

cómo multiplicaban los egipcios

El resultado que buscamos es el último número duplicado de la columna paralela, es decir, 1.536.

la multiplicación egipcia paso a paso

Por supuesto, no siempre uno de los multiplicadores va a ser una potencia de 2, es decir, no siempre uno de los dos factores va a aparecer en la columna que empieza por 1. Pero el método se puede aplicar aunque no sea así.

Probemos ahora con 332 x 15. Repetimos el proceso poniendo en una columna un 1 y en la otra el multiplicador 15. Empezamos a duplicar ambos números y paramos en la última potencia de 2 que sea menor que el multiplicador 332.

multiplicación egipcia conociendo solo la tabla del 2

Como la potencia siguiente a 256 sería mayor que 332, paramos aquí.

Ahora tenemos que buscar, entre las potencias de 2 escritas en la columna de la izquierda, una combinación que, al sumarla, nos dé 332:

el método que usaban los antiguos egipcios para multiplicar

La suma de los cuatro números subrayados en rojo da 332:

4 + 8 + 64 + 256 = 332

Ahora seleccionamos los números de la columna de la derecha que coinciden con los números de la izquierda que hemos subrayado antes:

métodos alternativos para multiplicar multiplicación egipcia

Y sumando estos cuatro números obtenemos el resultado de la multiplicación:

60 + 120 + 960 + 3840 = 4980

Podéis probar a hacerlo con otros números, os aseguro que aunque es una técnica un poco laboriosa siempre funciona. Y la verdad es que es otra muestra de enorme ingenio y de superación de las dificultades, pues los egipcios consiguieron multiplicar cualquier número conociendo tan solo la tabla del 2. Seguro que muchos escolares apostarían por este método con tal de ahorrarse el aprendizaje de todas las demás tablas de multiplicar, ¿no os parece?

Resulta muy interesante pararse a pensar por qué funciona este método y os invitamos a darle unas vueltas a la cabeza para tratar de averiguarlo.

Si no lo conseguís, podéis dejar un comentario aquí abajo o escribirnos un correo a alendeningures@gmail.com y os responderemos explicándoos el intríngulis de esta interesante técnica.

Ojalá este post os haya resultado interesante. Os esperamos la semana que viene.

 


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