IDEAS SOBRE LA DIVISIÓN 5: EN BUSCA DE ESTRATEGIAS


MANIPULAR PARA ENTENDER

En una entrada anterior hemos hablado ya de dos significados de la división y de dos tipos de problemas de división.

1) Cuando interpretamos la división como reparto equitativo entre un número determinado de partes, el divisor expresa el número de partes y el cociente el número de elementos que podemos poner en cada parte.

COMPRENDER LA DIVISIÓN. DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS

2) Cuando  interpretamos la división como distribución de una cantidad en grupos de un determinado número de elementos, el divisor es el número de elementos y el cociente es el número de grupos que podemos hacer.

Cómo enseñar a dividir en primaria. Comprender las matemáticas

Ejemplos de cada uno de estos significados los hemos visto en nuestras anteriores entradas.

Ejemplo del caso 1: repartir 48 gusanos de seda en 6 cajas.

Ejemplo del caso 2: distribuir 48 refrescos en cajas de 6 refrescos cada una.

Para resolver estos problemas de manera manipulativa utilizaríamos estrategias diferentes.

Para problemas de reparto equitativo, tendríamos que ir poniendo un elemento del dividendo en cada una de las partes, de uno en uno, hasta que no quede ningún elemento para repartir, si la división es exacta, o hasta que los elementos que queden no sean suficientes para repartir uno más a cada parte (división entera, con resto).

Enseñar a dividir. Reparto manipulativo. Matemáticas divertidas.

Para problemas de distribución en grupos de un determinado número de elementos, tenemos que ir separando grupos de ese número de elementos y ver cuántos grupos podemos hacer.

Comprender la división. Distribuir en grupos un conjunto de elementos.

Según José Antonio Fernández Bravo (La numeración y las cuatro operaciones matemáticas. Editorial CCS, 2003), al presentar estas dos situaciones a los alumnos antes de que sepan dividir, la segunda opción les resulta más sencilla que la primera.

La segunda opción es también la que se refleja en la pregunta:

¿Cuántas veces cabe …?

Esta pregunta se utiliza con frecuencia en las escuelas de inspiración Waldorf para introducir el concepto de división.

Se pregunta, por ejemplo:

¿Cuántas veces cabe el 5 en 20?

Y la respuesta es:

El 5 cabe 4 veces en el 20

Otra manera de formular esta pregunta sería:

 ¿Cuántas veces hay 5 en 20?

Con esta pregunta nos acercamos mucho al concepto de multiplicación (veces) y se hace evidente la relación inversa entre multiplicación y división:

En 20 hay 4 veces 5, porque 4 veces 5 es 20.

Relación entre la multiplicación y la división. Didáctica de las matemáticas en educación primaria.

BUSCANDO ESTRATEGIAS

El libro Didáctica de las Matemáticas para Primaria, ed. Pearson, nos presenta dos técnicas “artesanales” relacionadas con cada una de las situaciones de división que hemos visto.

Didáctica de las matemáticas en educación primaria. Editorial Pearson.

Tenemos que tener en cuenta que las estrategias que vamos a mostraros tienen sentido porque nos planteamos  un enfoque didáctico de indagación, investigación, reflexión y búsqueda por parte del alumno. Es decir, no nos planteamos transmitir al alumno las instrucciones de uso de un mecanismo ya elaborado para que lo pueda aplicar sin necesidad de comprender su funcionamiento.

Es así como se han enseñado tradicionalmente las matemáticas escolares, pero existen corrientes críticas con esta práctica que cuestionan que el aprendizaje de este tipo pueda promover el verdadero quehacer matemático.

ESTRATEGIA DE LAS RESTAS SUCESIVAS

La primera estrategia que os vamos a presentar es la de las restas sucesivas. Esta estrategia es la solución más inmediata para resolver problemas de distribución de una cantidad en grupos de un determinado número de elementos.

Por ejemplo:

Queremos hacer bolsas de 6 canicas para regalar. Tenemos 46 canicas ¿Cuántas bolsas podemos hacer?

La estrategia inmediata consiste en ir restando canicas de 6 en 6 a partir de la cantidad de partida.

Restas sucesivas como estrategia para calcular una división. Jugar con las matemáticas.

Esta tarea escrita es equivalente a la tarea manipulativa de ir retirando grupos de 6 elementos del conjunto inicial y, al final, contar cuántos grupos de 6 elementos hemos hecho.

Es también la estrategia que corresponde aplicar para resolver la pregunta:

¿Cuántas veces cabe el 6 en el 46?

O, dicho de otra forma:

¿Cuántas veces hay 6 en 46?

La operación escrita sería:

Estrategias didácticas para enseñar a dividir en educación primaria.

ESTRATEGIA DE ENCUADRAMIENTO

Veamos ahora cuál sería la estrategia artesanal para hacer repartos equitativos. Si planteamos el siguiente problema:

Queremos hacer 6  paquetes de galletas para regalar a nuestros familiares. Tenemos 52 galletas. ¿Cuántas galletas podemos poner en cada paquete?

Para agilizar la tarea, en lugar de repartir las galletas una a una, tenemos que buscar el múltiplo de 6 más próximo a 52 y que sea menor o igual a 52. En realidad, esta técnica de búsqueda de múltiplos ya la hemos utilizado a la hora de presentar la operación escrita.

Buscamos ese múltiplo en la tabla de multiplicar del 6.

Encontramos que

8 x 6 = 48

y que el siguiente múltiplo:

9 x 6 = 54

ya es mayor que 52.

Por lo tanto, el número que buscamos es 8.

Tenemos que poner 8 galletas en cada paquete.

Usaremos 48 galletas y nos sobrarán 4.

Las tablas de multiplicar en la operación de la división.

¿QUÉ HACEMOS CON LOS NÚMEROS GRANDES?

Las tareas manipulativas y las estrategias de cálculo que hemos planteado hasta ahora tienen una limitación. Cuando se trata de números grandes se vuelven muy arduas y poco eficaces.

Imaginaos, por ejemplo, tener que repartir 221 fichas entre 7 botes, o distribuir 850 latas de sardinas en cajas de 12 latas cada una.

En el primer caso, 221 no está dentro del repertorio de múltiplos normalmente conocido de las tablas de multiplicar, pues estas se aprenden solo hasta el 10. Por lo tanto, tenemos que encontrar una forma nueva de encuadrar ese número entre múltiplos de 7.

En el segundo caso se puede recurrir al método de restas sucesivas, pero está claro que cuanto mayor sea el dividendo, más larga y laboriosa resultará esta técnica.

Por lo tanto, cuando los alumnos ya han comprendido los conceptos relativos a la noción de división, tenemos que pasar a buscar estrategias de cálculo más eficaces que nos permitan operar con números grandes.

EL ALGORITMO DE LA DIVISIÓN

Es aquí donde aparece el algoritmo de la división que todos los adultos conocemos y utilizamos.

Desde luego, tenemos que admitir que esta técnica de cálculo es la más eficaz, por eso es la que se enseña. Pero nosotras, aunque no nos opongamos a su enseñanza, pensamos que vale la pena mostrar el mecanismo en el que se basa de manera que se puedan comprender, o por lo menos intuir, los procesos matemáticos que se ponen en práctica al llevarlo a cabo.

Eso es lo que os propondremos en la próxima entrada de blog la semana que viene.

Para que vayáis pensando sobre ello, ya os adelantamos que las divisiones que todos hacemos se basan en una combinación de las dos técnicas que os hemos presentado hoy: la de encuadramiento entre múltiplos y la de restas sucesivas.


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