IDEAS SOBRE LA DIVISIÓN 2. APRENDER DE LOS ERRORES


La semana pasada terminamos nuestra primera entrada sobre la enseñanza y aprendizaje de la división llamando la atención sobre la necesidad de que el resto sea menor que el divisor.

Esta semana vamos a recordar esta observación y presentar algunas más que son importantes para comprender a fondo la operación de la división.

Observación 1: el resto no puede ser mayor que el divisor

A partir de la tarea manipulativa de reparto equitativo, los alumnos se dan cuenta de que no tiene sentido que el resto de una división sea igual o mayor que el número de partes entre las que tenemos que repartir (divisor). Si nos sobra un número de elementos igual o mayor que el divisor, podemos repartir un elemento más a cada parte.

división con resto representación gráfica del error resto mayor que divisor

 

En este ejemplo, no es correcto dejar de resto 4. Hay que repartir un elemento más a cada parte, de manera que el resto sea 1.

enseñanza de la división: el resto no puede ser mayor que el divisor

Una vez que han comprendido esta relación, podemos probar a mostrarles una operación escrita como esta:

división con error resto mayor que divisor

Y preguntar qué es lo que está mal.

Insistimos en la observación y comprensión de la relación entre el resto y el divisor para que descubran que el resto nunca puede ser mayor que el divisor pues, tal y como se ve claramente al realizar los repartos, mientras el número de objetos a repartir sea mayor que el número de partes entre las que repartimos, el reparto no ha terminado.

Insistiremos en este hecho con cada reparto que hagamos.

Observación 2: el producto del cociente por el divisor nunca puede ser mayor que el dividendo.

Mostramos a los niños la siguiente división y pedimos que realicen el reparto correspondiente con las piedras:

errores en la división producto de cociente y divisor mayor que dividendo

Una vez que lo hayan intentado preguntamos qué es lo que está mal y explicamos que no podemos repartir más elementos de los que tenemos.

Para insistir en este punto tenemos que recordar algo de lo que ya hemos hablado: de la relación entre división y multiplicación.

Si proponemos la siguiente tarea:

Repartir 20 pasteles en 4 bandejas.

representación de la relación entre multiplicación y división

Observamos la relación con las tablas de multiplicar:

relación entre las tablas de multiplicar y el algoritmo de la división

Recordamos además que esta división es exacta porque el número 20 está en la tabla del 4.

Hagamos lo mismo con una división entera (no exacta): Repartir 17 chicles entre 5 amigos.

Los niños repartirán las piezas y observarán que han hecho 5 montones de 3 elementos cada uno. El producto de 5 x 3 es 15, por lo tanto, han repartido 15 de los chicles y les han quedado 2:

división entera

En este caso 15 es el número de la tabla del 5 más próximo a 17 y menor que 17.

Entonces nos preguntamos: ¿Podría ser 4 el cociente?

Intentamos hacer ese reparto y nos damos cuenta de que no tenemos suficientes elementos.

Enunciamos ahora que el producto del cociente por el divisor nunca puede ser mayor que el dividendo.

Preguntamos si el cociente podría ser 2 y realizamos el reparto correspondiente. Nos damos cuenta de que nos sobran demasiadas piezas y podríamos seguir repartiendo.

Recordamos que el resto no puede ser mayor que el divisor.

Al avanzar en el cálculo de la división vamos a ir utilizando números cada vez más altos. Esto va a suponer que la tarea de reparto uno a uno va a ser cada vez más tediosa y vamos a recurrir cada vez más a las tablas de multiplicar para encontrar los cocientes. Para ello pude ser muy útil repasar y afianzar las tablas con nuestra MAHABARAJA. Echadle un vistazo en nuestra tienda on-line.

Al haber mostrado de forma visual y práctica, con el mecanismo de reparto, las dos premisas fundamentales que se tienen que cumplir, la búsqueda del cociente se hará de manera razonada y significativa, lo que facilitará la práctica correcta de la operación escrita.

Observación 3: Relación inversamente proporcional entre cociente y divisor: cuanto mayor es el divisor menor es el cociente.

Pedimos a los niños que resuelvan la siguiente cuestión:

Repartimos 12 caramelos entre el grupo A (formado por 3 niños) y otros 12 entre el grupo B (formado por 4 niños).

división relación inversamente proporcional entre divisor y cociente

¿A los niños de qué grupo les tocan más caramelos?

Escribimos las divisiones correspondientes.

Insistimos, pidiéndoles a los niños que anticipen el resultado del siguiente reparto:

Tenemos una pareja de niños, un grupo de tres, uno de cuatro y uno de seis, ¿a los niños de qué grupo les tocarán más caramelos?

 

Después de que los niños lo hayan resuelto mentalmente, lo comprobamos repartiendo las piedras y escribimos las divisiones. Observamos que cuantos más niños haya para repartir, menor será el número de caramelos que reciban. Usando los términos matemáticos diremos que para el mismo dividendo, cuanto mayor sea el divisor, menor será el cociente.

propiedades de la división enseñar para que los alumnos comprendan

A continuación os dejamos unas propuestas de actividades que pretenden hacer reflexionar sobre todo lo que hemos visto en esta entrada.

ACTIVIDAD 1

Completa la tabla:

actividades para comprender la división en educación primaria

Para resolver esta tarea puede servir de ayuda escribir los números como si fuéramos a hacer la operación:

 Enseñar la división de forma significativa en educación primaria

Con la práctica se llegará a interiorizar que el dividendo se halla multiplicando el cociente por el divisor y sumando el resto.

También podemos cambiar la incógnita de sitio para poner en juego la capacidad de encontrar la relación entre todos los componentes de la división.

Escribe las divisiones y completa la siguiente tabla:

actividades sobre la división para pensar reflexionar y comprender

ACTIVIDAD 2

La siguiente actividad sirve para familiarizarse con los términos y afianzar el sentido de cada uno.

Escribe una división que cumpla cada condición:

  • El dividendo es mayor que 20.

 

  • El dividendo es 20 y el divisor es menor que el cociente.

 

  • El dividendo es 24 y el divisor es mayor que el cociente.

 

  • El dividendo es mayor que 35 y menor que 37.

 

  • El cociente es 6 y la división es exacta.

 

  • El divisor es 3 y la división es entera.

 

  • El divisor es 3 y el resto es 2.

ACTIVIDAD 3

A continuación proponemos una forma de observar cómo se comportan, en relación a la división, los múltiplos del divisor y los números consecutivos. Esta es una manera divertida de que los alumnos encuentren relaciones y extraigan conclusiones.

Calcular las siguientes divisiones:

15:5     20:5     25:5     30:5

16:5     21:5     26:5     31:5

17:5     22:5     27:5     32:5

18:5     23:5     28:5     33:5

19:5     24:5     29:5     34:5

Después les hacemos las siguientes preguntas:

¿Qué término tienen todas las divisiones en común?

¿Qué divisiones tienen el mismo cociente?

¿Qué restos se obtienen?

¿Qué divisiones tienen el mismo resto?

Sin calcular, ¿podéis decir qué restos tendrán las divisiones 15:3, 16:3 y 17:3?

Reflexionando sobre los resultados de esta actividad los alumnos descubrirán lo que ocurre en las divisiones con dividendos que van desde un múltiplo del divisor hasta el siguiente. Esto les servirá para ser capaces de predecir el resultado de muchas operaciones.

Esta misma actividad se puede presentar con estas variantes:

Relaciona:

actividades divertidas para comprender la división en enseñanza primaria

actividades interesantes para aprender a dividir comprender y reflexionar

ACTIVIDAD 4

Trabajo de detección y corrección de errores.

Un enfoque que nos parece particularmente interesante es la detección de errores. Una vez identificado el error hay que averiguar cuál es el motivo y encontrar una solución. Esta forma de trabajar implica que los contenidos con los que se está trabajando han sido adquiridos de manera significativa. La tarea manipulativa que se ha hecho previamente debe servir para favorecer y afianzar este tipo de aprendizaje. 

Explica por qué son incorrectas estas divisiones:

detección y corrección de errores en el aprendizaje de las matemáticas

En los casos que aparecen en la imagen, las divisiones 1 y 3 presentan el error de que el producto del cociente por el divisor es mayor que el dividendo. Es decir, no hay suficientes elementos para repartir esa cantidad a cada una de las partes.

Los casos 2 y 6 presentan errores en las tablas de multiplicar.

En los casos 4 y 5 el error está en que el resto es menor que el divisor, es decir, se podría continuar el reparto y dar un elemento más a cada parte.

ACTIVIDAD 5

La última tarea que proponemos tiene que ver con el último contenido presentado. También en esta ocasión, la tarea manipulativa que se ha realizado debe servir para que el alumno comprenda la relación inversa entre divisor y cociente cuando se presenta de forma escrita.

Fíjate en estas divisiones y contesta sin calcular:

 13 : 2          13 : 3          13 : 4          13 : 5

¿Cuál tendrá el cociente mayor? ¿Por qué?

 

48 : 8          48 : 7           48 : 6          48 : 5

Contesta sin calcular. ¿Cuál tendrá el cociente mayor? ¿Por qué?

Esperamos que esta propuesta didáctica haya resultado interesante y que despierte vuestras ganas de pensar sobre las matemáticas.

La semana que viene hablaremos sobre los dos significados de la división y su aplicación a la resolución de problemas. 


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