IDEAS SOBRE LA DIVISIÓN 3: DOS PROBLEMAS, UNA OPERACIÓN.


En la entrada de esta semana vamos a hablar de los dos significados de la división.

Hasta ahora, para introducir la división y conocer sus componentes, hemos utilizado solamente el significado de reparto en partes iguales. Hemos presentado a los alumnos la tarea manipulativa de repartir un número determinado de elementos (dividendo) entre un número determinado de partes (divisor) de manera que todas las partes tengan el mismo número de elementos (cociente).

TAREA MANIPULATIVA DE REPARTO PARA COMPRENDER LA DIVISIÓN

Podéis consultar en las anteriores entradas nuestras propuestas didácticas sobre la división.

Esta tarea de reparto corresponde a un tipo de problema que se identifica con el significado más inmediato de la división. Un ejemplo de problema de este tipo sería:

Tengo 48 gusanos de seda y tengo 6 cajas para guardarlos. ¿Cuántos gusanos debo poner en cada caja si quiero que todas tengan el mismo número de gusanos?

Para resolver esta tarea de manera manipulativa, la estrategia más inmediata es ir poniendo elementos de uno en uno y por orden en cada caja hasta que todos los elementos hayan sido repartidos.

Repartir 48 entre 6 manipular para comprender

repartir 48 entre 6 de uno en uno

dividir 48 entre 6 aprender matemáticas manipulativamente

...

48 entre 6 división en educación primaria

Veamos ahora la diferencia con esta otra tarea:

Tenemos 48 refrescos y tenemos que colocarlos en cestas de tal manera que haya 6 refrescos en cada cesta. ¿Cuántas cestas llenaremos?

En este caso la tarea no se resuelve repartiendo de uno en uno los refrescos, sino que tenemos que poner 6 refrescos en una cesta y después pasar a la siguiente. Seguiremos colocando refrescos de seis en seis hasta que se nos terminen y entonces contaremos las cestas que hemos llenado.

tarea de distribución repartir 48 elementos de 6 en 6

división como restas sucesivas didáctica de matemáticas

distribuir 48 elementos en grupos de 6 matemáticas con sentido

...

48 elementos distribuidos en grupos de 6 elemento sentido de la división

Estas dos tareas tienen algo en común y algo que las diferencia.

En el primer caso, de reparto elemento a elemento, conocemos el número de elementos que tenemos que repartir y también el número de partes en que queremos repartirlas. La incógnita es el número de elementos que tenemos que poner en cada parte.

problemas de dividir cómo comprender la división

En el segundo caso conocemos el número de elementos que tenemos que repartir y el número de elementos que tenemos que poner en cada parte. La incógnita es el número de partes que podemos hacer.

comprender los problemas de dividir en educación primaria

En los dos casos la tarea se resuelve haciendo una operación de división pero la relación entre los términos de la división y el concepto a que se refieren varía en cada caso.

Entonces tenemos que hacernos la siguiente pregunta:

¿Por qué la operación de la división resuelve los dos problemas de la misma forma?

Es decir, en el primer caso yo pongo como divisor el número de partes y calculo el cociente, que es el número de elementos en cada parte.

Mientras que en el segundo caso, pongo como divisor el número de elementos en cada parte y al calcular el cociente averiguo el número de partes que voy a poder hacer.

¿Por qué la misma operación me sirve en estos dos casos que plantean situaciones diferentes?

La respuesta está en la propiedad conmutativa de la multiplicación.

Multiplicar 6 x 8 da el mismo resultado que multiplicar 8 x 6.

aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación para resolver problemas de dividir

Recordemos a los gusanos de seda del caso 1. Cuando la tarea ya está resuelta vemos que hemos puesto 8 gusanos en cada caja.

48 entre 6 es 8 porque 6 x 8 es 48

Ahora imaginemos que la tarea planteada era esta otra:

Tenemos 48 gusanos de seda y tenemos que distribuirlos en cajas. Para que los gusanos estén cómodos y bien atendidos lo mejor es poner como máximo 8 en cada caja. ¿Cuántas cajas necesitamos para guardar los 48 gusanos?

La solución nos la da la misma representación gráfica del caso anterior. Sin embargo, la operación que tendríamos que hacer en cada caso sería diferente. En el caso 1 sería esta:aprender a dividir comprende la división

Y en el caso 2, esta:

qué es dividir cómo se enseña a dividir

Esto genera un conflicto en el código de colores que hemos utilizado hasta ahora. En ambos casos el dividendo sigue siendo azul, pero en el caso 1 el divisor (rojo) es el número de partes y el cociente (verde) es el número de elementos en cada parte. Sin embargo, en el caso 2 el divisor (verde) es el número de elementos que ponemos en cada parte y el cociente (rojo) es el número de partes que hacemos.

Mantener el código de colores evidenciando esta contradicción puede ser adecuado pues nos va a permitir distinguir entre los dos tipos de situaciones que hemos expuesto.

Cuando se trate de un reparto, el número que aparece como divisor será de color rojo, mientras que cuando se trate de la distribución en grupos de un número determinado de elementos, el divisor será de color verde.

Esta distinción es importante, pues no siempre resulta obvio que los problemas del segundo tipo se resuelvan a través de una operación de división. Practicar la tarea manipulativa reiteradamente para resolver situaciones del tipo 2 será muy útil para visualizar, comprender y afianzar la estrategia antes de pasar a resolverlo mediante la operación escrita.

Mantener el código de colores nos ayudará también a distinguir entre otra situación que resulta igualmente de la propiedad distributiva de la multiplicación.

Pensemos de nuevo en el reparto de los gusanos:

aprender a dividir en educación primaria

Tenemos 6 cajas, así que hemos puesto 8 gusanos en cada caja. En virtud de la propiedad distributiva sabemos que si tuviéramos 8 cajas, tendríamos que poner 6 gusanos en cada caja.

La representación gráfica y la operación correspondientes a esta situación serían estas:

comprender la división matemáticas aprendizaje significativo

Si lo comparamos con el caso 2 en el primer ejemplo, vemos que aunque la operación es la misma, las situaciones que representan son diferentes.

la división como resta sucesiva comprender las matemáticas en primaria

En el caso de las botellas de refresco podemos decir que si tenemos cajas de 6 botellas necesitaremos 8 cajas para guardar todas las botellas.

aprender a dividir manipulando y comprendiendo

Por lo tanto, en virtud de la propiedad conmutativa sabemos que si tuviéramos cajas de 8 botellas, necesitaríamos 6 cajas.

comprender los términos de la división y los problemas de dividir

Y en este caso podemos ver también la operación equivalente que representa una situación diferente:

aprender a dividir comprender las matemáticas educación primaria

Las situaciones en las que el divisor es de color verde, es decir, en las que tenemos que averiguar cuántos grupos podemos hacer si tenemos que poner un número determinado de elementos en cada grupo, son más difíciles de relacionar con la operación de la división.

Estas situaciones son las que hacen que la división se pueda interpretar como una tarea de restas sucesivas.

Pero hablaremos más detenidamente de ello en una entrada posterior, porque todavía quedan muchas cosas que decir sobre la división.

No os las perdáis.


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