IDEAS SOBRE LA DIVISIÓN 7: CONSTRUIR UN ALGORITMO


Hoy vamos a mostraros una forma de dividir números grandes.

En lugar de hacerlo usando la operación que todos conocemos porque nos la enseñaron en la escuela, vamos a recurrir a nuestros conocimientos matemáticos y, paso a paso, vamos a ir construyendo una estrategia que podamos comprender.

Tomaremos como primer ejemplo la división que propone el cuento de la semana anterior:

Aprender a dividir

PRIMEROS PASOS

Para empezar tenemos que recordar dos propiedades fundamentales de nuestro sistema de numeración:

1) Descomposición canónica de un número:

Descomposición canónica de un número. Explicar el sistema de numeración decimal.

2) Regla de los ceros:

Regla de los ceros. El sistema de numeración decimal.

REPARTIR POR MONTONES

Ahora ya podemos empezar nuestra división.

Repartir las piedras preciosas de una en una sería demasiado tedioso. Así que lo que vamos a hacer es repartir en montones llevando bien la cuenta y restando sucesivamente las cantidades que vamos repartiendo.

En esta técnica se combinan dos procedimientos que ya hemos presentado en una entrada anterior: la de encuadramiento de múltiplos y la de restas sucesivas.

Vamos allá.

Acabamos de encontrar que:

Multiplicar y dividir

Por lo tanto:

Multiplicar y dividir son operaciones inversas

Así que vamos a tomar 2000 piedras de las 2287 que tenemos y vamos a dar 400 a cada uno de los 5 súbditos que han entrado.

De esta manera, cada uno tendrá 400 piedras y nos quedarán 2287 – 2000 para repartir.

Es decir, nos quedarán 287 piedras por repartir.

Vamos anotando esto de manera bien ordenada:

Técnica de la división por encuadramiento de múltiplos

Con el mismo método repartimos las 287 piedras que nos quedan.

Como 5 x 40 = 200, podemos repartir 40 piedras más a cada súbdito y nos quedarán 87:

Encuadramiento de múltiplos y restas sucesivas

Ahora nos quedan 87 piedras para repartir.

Como 5 x 10 = 50, entregamos 10 piedras mas a cada uno:Desarrollar una técnica artesanal para dividir. Aprendizaje significativo.

Nos quedan solo 27 piedras. Ahora ya sabemos que para repartir estas últimas tenemos que dar 7 piedras más a cada uno y nos quedarán 2 que ya no podremos repartir:

Dividir. Didáctica de las matemáticas. Aprendizaje significativo.

¿Cuál es el cociente de esta división? Para obtenerlo solo tenemos que sumar las cifras por las que hemos ido multiplicando a 5 para ir repartiendo por montones.

Es decir, primero repartimos 400 piedras a cada uno, después otras 40, después otras 10 y por último 7 más.

Por lo tanto, el total de piedras que entregamos a cada uno es:

Técnica de división. Suma de cocientes parciales. Aprendizaje significativo.

Y nos quedan de resto 2 piedras que no podemos repartir.

Así que, podemos escribir:

División resultado. Técnica artesanal para dividir comprendiendo el proceso.

Pero fijaos en una cosa. En el proceso de encuadrar y restar sucesivamente, en los pasos 2 y 3 hemos multiplicado primero por 40 y después por 10. Podríamos haber simplificado estos dos pasos en uno solo si en el paso 2 hubiéramos multiplicado por 50 en lugar de por 40. Así:

Técnica artesanal para dividir. Encuadramiento de múltiplos. Restas sucesivas.

Entonces tendríamos que sumar:

Suma de cocientes parciales. Técnica de encuadramiento. Dividir comprendiendo.

Esto lo podemos hacer siempre que observemos que repetimos un orden decimal en los encuadramientos. Es decir, al multiplicar por 40 y después por 10, estamos en ambos casos en el orden de las decenas, así que en lugar de hacerlo en dos pasos, podemos hacerlo en uno multiplicando por 50.

Esto es equivalente a buscar entre los múltiplos del divisor aquel que sea el más próximo a la cifra que queremos encuadrar, y menor que dicha cifra.

Es decir, si para dividir

28 : 5

elegimos el múltiplo

25 = 5 x 5

porque el siguiente múltiplo

30 = 5 x 6

ya es mayor que la cifra que estamos dividiendo: 28

entonces para dividir

280 : 5

elegiremos el múltiplo

250 = 5 x 50

puesto que el siguiente múltiplo en el orden de las decenas

300 = 5 x 60

ya es mayor que la cifra que estamos dividiendo: 280.

NÚMEROS MÁS GRANDES

Sin duda, este procedimiento es más lento que el algoritmo que nos han enseñado, pero tiene la ventaja de que al aplicarlo estamos comprendiendo el proceso.

Otra ventaja es que con este método podemos dividir entre números de más de una cifra sin modificar el procedimiento. Recordaréis que, si usamos el algoritmo tradicional, la división entre números de dos o más cifras tiene un nivel de dificultad superior a la división por una cifra.

En el caso del método que acabamos de mostraros, sin embargo, el procedimiento es el mismo. Lo único que necesitamos para dividir por números mayores de 10 es construir un repertorio de múltiplos del divisor, puesto que normalmente solo aprendemos de memoria las tablas de multiplicar hasta el 10.

Vamos a verlo con otros dos ejemplos.

Queremos dividir 7847 : 37

Empezamos calculando los múltiplos de 37:

Búsqueda de múltiplos para dividir. Buscar técnicas artesanales y significativas.

Sabiendo esto, sabemos también que:

Buscar múltiplos para aplicar a la técnica de la división. Regla de los ceros.

Con este repertorio ya podemos hacer nuestra división, buscando en la tabla de múltiplos aquel que esté más cerca de 7847 sin ser mayor que 7847:

División con técnica de encuadramiento de múltiplos y restas sucesivas.

Ahora sumamos las sucesivas cifras por las que hemos multiplicado 37:

Suma de cocientes parciales. Dividir comprendiendo. Construir el propio conocimiento.

Este es el cociente. Y el resto es el último resto de la cuadrícula: 3.

Por lo tanto, podemos escribir:

Resultado de una división realizada de manera significativa. Comprender las matemáticas.

Veamos un último ejemplo para afianzar el método.

Vamos a dividir:

Aprender a dividir por dos cifras. Método artesanal para que los niños comprendan.

Empezamos calculando los múltiplos de 28:

Buscar múltiplos para dividir por la técnica de encuadramiento. Didáctica de las matemáticas.

Con este repertorio ya podemos hacer nuestra división. El múltiplo más cercano a y menor que 11303 es 11200, que es 400 x 28:

Cómo enseñar a los niños a dividir por dos cifras. Método de aprendizaje significativo.

Ahora sumamos las sucesivas cifras por las que hemos multiplicado 28:

Las cuatro operaciones matemáticas en primaria. Sumar, restar, multiplicar y dividir.

Este es el cociente. Y el resto es el último resto de la cuadrícula:19.

Por lo tanto, podemos escribir:

Cómo hacer que los alumnos de primaria comprendan las operaciones matemáticas básicas.

VENTAJAS Y DESVENTAJAS

Si este método os ha parecido demasiado laborioso, os invitamos a reflexionar sobre las ventajas que nos ofrece.

Nosotras, sin profundizar demasiado, señalaríamos en primer lugar el hecho de que esta técnica mantiene todo el tiempo a la vista el proceso matemático que se está llevando a cabo, por lo que la comprensión y el control sobre la tarea es mucho mayor que en el caso de aplicar un algoritmo sin comprenderlo.

Pero además, tenemos que pensar que realizar la división del último ejemplo con el algoritmo tradicional conlleva afrontar dificultades que exigen mucha práctica repetitiva hasta llegar a dominarlas y que solo pueden enseñarse apelando a la memorización y sin que se ponga en juego la capacidad de razonar.

Pensad, por ejemplo, en la regla enunciada con la cantinela:

aprendizaje memorístico versus aprendizaje significativo

¿Qué significado matemático tiene esto?

Si observáis la tabla de encuadramientos del último ejemplo quizás encontréis la relación entre este cero del cociente y el hecho de que, al encuadrar por múltiplos, nos hemos saltado un orden de unidades. Es decir, hemos tomado un múltiplo del orden de las centenas y, a continuación, uno del orden de las unidades. No hay un múltiplo  del orden de las decenas.

Sistema numérico decimal. Cero al cociente y bajo la cifra siguiente.

¿No os parece que esta forma de verlo tiene más sentido que aprenderse la cantinela?

Sea como sea, seguimos estando de acuerdo en que el algoritmo es el método más eficaz puesto que es el que permite hacer la operación en el menor número de pasos.

Ahora bien, conocer y comprender el método de encuadramiento de múltiplos y restas sucesivas será de gran ayuda al aprender el algoritmo pues puede favorecer en gran medida la comprensión del proceso y de las diferentes estrategias que se utilizan.

 

La semana que viene analizaremos paso a paso el algoritmo. Teniendo muy presente todo lo que hemos visto hasta ahora, en esta entrada y en las anteriores, vamos a poder comprender todo lo que hasta ahora hemos hecho de forma mecánica y memorística.  

Seguro que os va a encantar descubrir todos estos misterios.

Hasta la semana que viene.

 


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