IDEAS SOBRE LA DIVISIÓN 8: COMPRENDER EL ALGORITMO


Es difícil que lleguemos por nuestra cuenta a idear un mecanismo tan sofisticado como el algoritmo que nos han enseñado y que utilizamos normalmente. Al fin y al cabo estas técnicas se han desarrollado a lo largo de siglos y gracias a la inteligencia de seres humanos excepcionales.

Pero aunque nosotros no seamos capaces de crear un algoritmo tan eficaz, sí que seremos capaces de comprender su funcionamiento si nos paramos a analizarlo con un poco de atención.

Para comparar con la técnica que hemos presentado la semana anterior, vamos a empezar haciendo la misma división pero ahora con el algoritmo habitual. Seguro que vais a comprender muchas cosas que hasta ahora hacíais de forma mecánica sin pararos a pensar en el fundamento de lo que estabais haciendo.

La división es esta:

comprender el algoritmo de la división paso a paso

PRIMER PASO: CABER O NO CABER, ESA ES LA CUESTIÓN

Lo primero que hacemos cuando empezamos a resolver esta división es decir:

“El 5 no cabe en 2”

Y entonces cogemos el 22. Es decir, cogemos dos cifras en lugar de una para empezar la división.

¿Por qué cogemos dos o más cifras al comenzar una división?

Pero ¿qué significa que “el 5 no cabe en 2”?

Es obvio que si tenemos 2 elementos no podemos repartirlos entre cinco grupos.

Sin embargo, el primer 2 del número 2287 está en la posición de las unidades de millar y, por lo tanto, representa en realidad 2000 unidades. 2000 unidades sí que podrían repartirse entre 5 grupos. Lo que ocurre es que estas 2000 unidades están empaquetadas, por así decir, en dos paquetes de 1000 unidades cada uno.

Para entender esto, lo mejor que podéis hacer es echar un vistazo a este post anterior, en el que explicamos el funcionamiento del sistema numérico decimal y sus implicaciones en los algoritmos de la suma y de la resta.

De acuerdo con lo que explicamos en ese post, representaríamos así el número 2287:

Cómo enseñar a los niños el funcionamiento del sistema de numeración decimal

Usamos un código de colores según el cual cada orden decimal tiene un color:

Unidades = azul

Decenas = rojo

Centenas = verde

Unidades de millar = azul (igual que las unidades).

Ahora, teniendo presente la imagen de las bolsas de colores que representan conjuntos de 1000, 100 y 10 elementos, podemos entender mejor que no podríamos repartir dos bolsas de 1000 elementos entre cinco grupos.

¿Qué podemos hacer?

La solución es abrir las dos bolsas azules y extraer las 10 bolsas verdes que contiene cada una. De esta manera tendremos 22 bolsas verdes que sí podemos repartir entre 5 grupos.

Explicación de porqué cogemos dos cifras al iniciar una operación de división

Este es el 22 que “cogemos” para empezar a hacer la división.

SEGUNDO PASO: BUSCANDO EL MÚLTIPLO PERFECTO

A continuación hacemos una división parcial de 22 entre 5.

Para resolverla tenemos que buscar el múltiplo de 5 más cercano a 22 y menor que 22.

Ese múltiplo es el 20, que es el resultado de multiplicar 4 x 5.

El algoritmo de la división paso a paso. Aprender y comprender

Esto equivale a la búsqueda por encuadramiento de múltiplos que hacíamos en nuestro post anterior.

Un forma de dividir comprendiendo el proceso

¿Pero qué significa esto exactamente?

Significa que hemos entregado 4 bolsas verdes a cada uno de los 5 grupos entre los que tenemos que repartir. Hemos entregado 20 bolsas verdes de las 22 que teníamos y nos quedan 2 bolsas verdes.

Comprender el sistema de numeración decimal para comprender la operación de división

Como en cada bolsa verde hay 100 elementos, hemos entregado 400 elementos a cada uno de los grupos. En total hemos entregado 2000 elementos.

Sin embargo, en la operación escrita hemos escrito un 4, y no un 400. ¿Por qué? Seguro que ya habéis deducido la respuesta. Porque al seguir calculando iremos añadiendo cifras en el cociente a la derecha del 4, de tal manera que en virtud del valor de la posición en nuestro sistema de numeración, el 4 ocupará la posición correspondiente a las centenas y tendrá el valor de 4 x 100 = 400.

¿Y esto siempre funciona? ¿El número de cifras del cociente siempre hace que cada cifra corresponda con su orden de unidades? Pues sí, y no por arte de magia, sino por arte de matemática. A no ser que nos equivoquemos y nos comamos una cifra, lo cual puede fácilmente ocurrir en caso de que haya ceros en el cociente. Pero eso lo veremos más adelante. De momento sigamos con nuestra exploración del algoritmo.

TERCER PASO: RESTA Y SIGUE

Una vez que hemos repartido 4 bolsas verdes (400 elementos) a cada uno de los 5 grupos, tenemos que seguir repartiendo el resto de elementos que nos quedan. Ese número lo obtenemos restando del dividendo inicial el número de elementos que ya hemos repartido:

El proceso de la operación de división paso a paso

En la operación escrita tradicional hemos restado 22 – 20 y el resultado es 2. Muchos de vosotros cuando dividís con el algoritmo que os han enseñado hacéis la resta directamente en vuestra cabeza y escribís el resultado, así:

¿Qué hacemos exactamente cuando hacemos una operación de división?

La consigna en forma de cantinela para realizar esta parte de la operación es:

“Cuatro por cinco veinte, al veintidós, dos”.

Y la clave está en la palabra “al” que es una manera abreviada de decir que “desde 20 hasta 22 hay 2 unidades”, o sea, la diferencia entre 20 y 22 es 2, o lo que es lo mismo, si a 22 le restamos 2 nos quedan 20.

Pues bien, ese 2 son las dos bolsas verdes que nos han quedado sin entregar. Como no podemos repartirlas porque “el 5 no cabe en 2”, tenemos que hacer otra vez algo al respecto.

PASO CUATRO: VOLVER A EMPEZAR

Y lo que hacemos es lo mismo que hemos hecho antes: abrir las bolsas verdes y liberar las 20 bolsas rojas que tienen en su interior. De esta manera, juntando las 20 bolsas rojas que estaban en el interior de las bolsas verdes con las 8 bolsas rojas que teníamos inicialmente, tendremos 28 bolsas rojas.

¿Qué significa "bajar una cifra" cuando hacemos divisiones?

Esto es exactamente lo que hacemos cuando decimos: “bajamos el 8”.

 Hacer verdaderas matemáticas exige comprender el proceso de lo que estamos haciendo

Esta formulación no es muy intuitiva porque en realidad lo que hemos “bajado” son las 20 bolsas rojas que hemos sacado de las bolsas verdes. Podríamos decir que las hemos trasladado al orden de unidades inmediatamente inferior. En el caso de la operación escrita, al bajar solo el 8 y no el 8 y el 7, como ocurre en el número completo, el 2 ocupa la posición de las decenas en lugar de ocupar el de las centenas.

Busquemos ahora el múltiplo de 5 más próximo a 28 y menor que 28.

Dividir con el método de encuadramiento de múltiplos

Aprender a dividir y comprender la división paso a paso

Hemos hecho lo mismo en ambos procedimientos. Pero en el procedimiento de encuadramiento de múltiplos tenemos siempre a la vista la dimensión del número que estamos dividiendo, mientras que en la operación escrita perdemos esa dimensión al escribir y operar con las dos cifras significativas en esta parte del proceso.

Como veis, hemos averiguado que, en la operación escrita, el múltiplo que buscábamos es 25, resultado de multiplicar 5 x 5, mientras que en el procedimiento “artesanal” seleccionamos 250, resultado de multiplicar 50 x 5.

Y la representación con nuestro juego de las bolsas es esta:

Cómo visualizar la operación de división para aprender a dividir comprendiendo el proceso

En ambos casos, antes de continuar, restamos la cantidad que hemos entregado para seguir repartiendo lo que queda.

Didáctica de las matemáticas en educación primaria. Un método para enseñar la división de manera significativa

Después de este proceso, ya solo nos queda repartir entre los 5 grupos los 37 elementos que nos quedan.

Para ello tenemos que abrir, igual que las veces anteriores, las 3 bolsas rojas y dejar los 30 elementos sueltos, que se suman a los 7 que teníamos desde el principio.

El sistema de numeración decimal y la operación de división

Ya sabemos que tenemos que buscar entre los múltiplos de 5 el más próximo a 37 que sea menor que 37. Es el 35, resultado de multiplicar 7 x 5. Por lo tanto, tenemos que repartir 7 elementos más a cada grupo.

Dividir de forma manipulativa y significativa. Matemáticas en educación primaria.

Y ya casi hemos terminado.

Solo tenemos que restar para obtener el resto final.

Una forma de enseñar la división comprendiendo cada paso del proceso

Aquí terminamos nuestra operación de división. Esperamos que el proceso que os hemos mostrado os haya ayudado a comprender todas esas acciones automáticas que ponemos en práctica cada vez que hacemos una división desde nuestra más tierna infancia.

 

 


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