IDEAS SOBRE LA DIVISIÓN 9: SUPERANDO DIFICULTADES


Esta semana vamos a realizar una división tal y como nos enseñaron en la escuela para ver cuáles son las principales dificultades con las que nos encontramos.

PRINCIPALES DIFICULTADES EN EL APRENDIZAJE DE LA OPERACIÓN DE DIVISIÓN

En primer lugar tenemos que averiguar cuántas cifras debemos coger para empezar. En la entrada de la semana pasada explicamos qué significaba tomar dos o más cifras. Vamos a verlo de nuevo con este ejemplo.

Empecemos representando el número mediante bolsas que formamos agrupando los elementos de los distintos órdenes de unidades de 10 en 10. (Podéis ver una explicación detallada en este post).

Comprender el sistema de numeración posicional. Didáctica matemáticas primaria.

De acuerdo con esta representación, cada bolsa tiene en su interior diez bolsas del orden de unidades inmediatamente inferior.

La bolsa de color verde oscuro representa el 1 que aparece en las decenas de millar. No podemos repartir una bolsa entre 28 grupos. Lo que tenemos que hacer es abrir la bolsa y liberar las diez bolsas que tiene dentro:

Órdenes de unidades en el sistema de numeración posicional

Ahora tenemos 11 unidades de millar. Pero tampoco podemos dividir 11 entre 28, es decir, todavía no podemos dar al menos una unidad a cada grupo. Así que tenemos que abrir estas 11 bolsas y liberar las 10 bolsas de centenas que contienen.

La operación de la división y el sistema de numeración decimal

Ahora tenemos las 110 bolsas verde claro que hemos sacado de las 11 bolsas azul oscuro más las 3 bolsas verde claro que ya teníamos. Tenemos 113 bolsas que podemos empezar a repartir.

El número de cifras que cogemos al principio va a determinar la magnitud del cociente. De acuerdo con esto ya podemos adelantar que el cociente va a tener tres cifras y por lo tanto, la primera cifra que escribamos en el cociente va a corresponder al orden de las centenas.

Ahora nos encontramos con la primera dificultad del algoritmo. Tenemos que hacer la división parcial

 

Cómo explicar los acarreos en las divisiones de dos o más cifras

En la escuela aprendimos a hacer esta división tanteando un valor para el cociente a partir de la estimación de 11 : 2. Pero haciéndolo de esta manera nos encontramos con el problema de que al multiplicar el número que corresponde a las unidades, en este caso el 8, por el cociente que estamos probando se acarrean unas llevadas que hacen que se sobrepase el valor del dividendo.

Veámoslo en la práctica:

Para dividir 113 entre 28 probamos para empezar con un cociente equivalente a 11 : 2.
Este valor sería 5. ¿Pero qué pasa si ponemos 5?

El problema de las llevadas en las divisiones de dos cifras

Quizás ya no recordéis la dificultad que esto supuso cuando aprendisteis a dividir. Pero si tenéis hijos en edad escolar o sois maestros en esta etapa, seguro que os habéis encontrado con que a los estudiantes esta dificultad les resulta complicada y necesitan mucha práctica para superarla.

Nosotras pensamos que esa dificultad se debe a que no comprendemos lo que estamos haciendo realmente.

Cuando hacemos la división multiplicamos número a número el divisor por el cociente pero no escribimos el resultado de la multiplicación sino que, manteniéndolo en la memoria, hacemos la resta directamente y guardamos en la memoria (o con ayuda de los dedos) las que nos llevamos.

Divisiones de dos cifras, dificultades y métodos. Educación primaria matemáticas.

La locución que hacemos, en voz alta o mentalmente es:

8 x 5 es 40, al 43 van 3 y me llevo 4; 2 x 5 es 10 más 4 son 14.

Como 14 es mayor que 11 se asume que el cociente es demasiado grande y que hay que probar con uno menor.

Lo cierto es que cuando aplicamos esta técnica estamos haciendo varias operaciones simultáneas y manteniendo en la memoria varias cifras.

Pero lo que estamos haciendo realmente es multiplicar 28 x 5:

Aprendizaje significativo. Divisiones de dos cifras.

Por lo tanto, no podemos repartir 5 bolsas verdes claro a cada grupo porque no tendremos suficientes bolsas.

Tenemos que probar a repartir una bolsa menos:

Dividir entre dos cifras. Enseñar matemáticas en educación primaria.

Por lo tanto, hemos averiguado que podemos repartir 4 bolsas verde claro a cada grupo.

Si lo hacemos directamente en la división:

Todas las técnicas para enseñar a dividir por dos o más cifras. Trucos de matemáticas.

Este tanteo en el que hay que tener en cuenta las llevadas se complicaría todavía más en un ejemplo como este:

Ejemplos de divisiones de dos cifras con llevadas. Superar dificultades en el aprendizaje de las matemáticas.

En esta división, un calculador novato comenzará probando un cociente igual a 4, ya que 8 : 4 es 2:

Ensayo y error en el tanteo para dividir por dos cifras. Didáctica de las matemáticas en enseñanza primaria.

El siguiente tanteo será probar con cociente 3:

Divisiones por dos cifras con acarreos. Dificultades y métodos en la enseñanza de las matemáticas.

Aquí el proceso de multiplicación y resta se complica porque las unidades (4) que hay que restar son más que las que tenemos (2), por lo tanto hay que hacer mentalmente una resta con llevada.

La locución sería la siguiente: 8 x 3 es 24, al 32 van 8 y me llevo 3; 2 x 3 son 6 más 3 que me llevaba, son 9. Como 9 es mayor que 8, el cociente no puede ser 3.

Pero ¿por qué calculamos la diferencia desde 24 a 32? ¿Por qué nos llevamos 3? ¿A dónde nos llevamos esas 3?

Son preguntas difíciles de responder para un adulto y creemos que imposibles de explicar a un alumno de esta edad.

Sin embargo, podemos simplemente multiplicar 28 x 3 y comprobar que el resultado es mayor que 82:

Por qué es difícil dividir entre números de dos o más cifras. Métodos y juegos de matemáticas.

Así, seguiremos adelante usando como cociente 2.

Este proceso de tanteo solo empieza a ser eficaz después de una práctica prolongada, tras la cual el alumno empieza a ser capaz de predecir cuándo los acarreos o llevadas van a hacer que el producto del divisor por el cociente sobrepase al dividendo.

En esta entrada de blog os mostramos un método para dividir que sustituye este proceso por el de calcular los múltiplos del divisor antes de comenzar la división.

Pero volvamos a la división que hemos dejado a medias:

Dividir entre números de dos cifras paso a paso. Enseñar matemáticas. Aprendizaje significativo.

Recordemos que, del número inicial: 11323, hemos repartido 4 bolsas verde claro a cada grupo y nos ha sobrado 1 bolsa verde, es decir, nos queda una centena más las decenas y unidades que teníamos al principio:

El sistema numérico decimal posicional y sus implicaciones en la operación de división.

Para poder seguir repartiendo, tenemos que abrir la bolsa verde claro y liberar las 10 bolsas rojas que contiene.

Cómo explicar a los niños que tienen que bajar una cifra para seguir dividiendo.

Este proceso equivale a bajar la cifra siguiente en la técnica tradicional:

Aprender a dividir. Bajar la cifra siguiente. Aprendizaje constructivo y significativo.

Tenemos 12 bolsas rojas, que no podemos repartir entre los 28 grupos. ¿Qué hacemos?

En la técnica tradicional lo que hacemos es seguir a pies juntillas lo que dice la cantinela que seguramente todos recordáis:

“Cero al cociente y bajo la cifra siguiente”

Explicación del algoritmo de la división por dos cifras. Dificultades de aprendizaje.

¿Por qué tenemos que poner un 0 en el cociente? Recordad que dijimos que, de acuerdo con el número de cifras que cojamos al empezar la división, podemos saber que el cociente va a tener tres cifras. Esto lo sabemos mirando cuántas cifras quedan a la derecha en el dividendo después de “coger” las cifras necesarias para comenzar la división.

Como después de coger 113 nos quedan dos cifras más: 2 y 3, sabemos que el divisor tendrá 3 cifras y por lo tanto, la primera cifra que escribimos en el cociente va a corresponder al orden de las centenas.

Comprender la división. Cuántas cifras cogemos para empezar. Explicación y método.

Lo que ocurriría si bajamos dos cifras seguidas y no ponemos un 0 en el cociente es que este tendrá solo dos cifras y lo que debería ser el orden de las centenas se quedará en el orden de las decenas.

Pero ¿qué significado matemático tiene este proceso?

Lo entenderemos fácilmente siguiendo con el juego de las bolsas. Hemos visto que tenemos 12 bolsas rojas que no podemos repartir entre 28 grupos.

Esto lo escribimos simbólicamente con un 0 en la posición de las decenas, ya que ese es el orden al que equivalen las bolsas rojas.

Cero al cociente y bajo la cifra siguiente. Significado en el sistema de numeración decimal. Aprendizaje significativo.a

Es muy importante marcar con un 0 este reparto nulo, porque si no lo hiciéramos estaríamos desvirtuando el valor de las cifras que componen el cociente.

Una vez que hemos indicado con un 0 el hecho de que no hemos repartido bolsas rojas, lo que tenemos que hacer es abrir las 12 bolsas rojas, que contienen 10 elementos cada una, y dejar sueltos los 120 elementos a los que sumaremos los 3 que teníamos inicialmente.

El sistema de numeración decimal. Valor de posición. Órdenes de unidades. Método Waldorf.

Esto es lo que significa bajar la cifra siguiente después de haber puesto un 0 en el cociente. Es decir, cuando veo que aún abriendo las bolsas verdes para liberar las bolsas rojas no tengo suficientes bolsas rojas para repartir una a cada grupo, tengo que abrir las bolsas rojas y liberar las unidades sueltas. Y tengo que indicar con un 0 en el cociente el hecho de que no he repartido bolsas rojas.

Enseñar a dividir en educación primaria. Didáctica matemáticas. Principales dificultades.

Lo que tenemos que hacer, por último, es repartir estos 123 elementos entre los 28 grupos.

Enseñar a dividir. Aprendizaje significativo. Comprender matemáticas.

 

Después de ver distintos métodos que podemos utilizar para dividir, podéis reflexionar sobe cuál os parece más adecuado, más sencillo, más eficaz, etc. Y decidir cuál preferís aplicar o enseñar.

Nosotras pensamos que es conveniente comenzar mostrando los procesos de manera que el alumno los pueda comprender. Sin perjuicio de que, en una etapa posterior, se enseñen las técnicas mecánicas más eficaces.

Estamos casi al final de nuestra serie de entradas sobre la división. La semana que viene nos despedimos con una propuesta lúdica para amenizar la práctica de las primeras divisiones.

Os esperamos.


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