LA PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN: ¿SER O NO SER?


LA PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN: ¿SER O NO SER?

En la segunda parte de nuestro cuaderno ¿QUÉ ES MULTIPLICAR? hay una propuesta para construir las tablas de multiplicar contando a saltos. Comienza con una historia: Un caballero muy galante debe rescatar a una dama encerrada en una torre.

 

Multiplicar es contar saltando. ¿Qué es multiplicar? Alén de Ningures. Aprender a multiplicar.

 

Para ello tiene que subir una escalinata de cien peldaños. La cuestión es que solo puede dar diez pasos. El caballero no sabe las tablas de multiplicar, así que va probando. Primero sube las escaleras de una en una, después de dos en dos, etc. Después de probar con todos lo números llega al diez y comprueba que subiendo los escalones de diez en diez alcanza el final de la escalera dando diez pasos.

Mientras el lector sigue la historia, va construyendo la tabla de cada número del uno al diez coloreando en cada página los peldaños que el caballero pisa cuando sube de uno en uno, de dos en dos, etc.

 

Aprender las tablas de multiplicar subiendo escaleras. Alén de ningures. Matemáticas amables.

 

Pero además, se propone otra actividad simultánea. En cada tabla se debe pintar el primer paso siempre de color amarillo, el segundo paso de color naranja, etc. Es decir, los pasos se colorean siempre según la misma secuencia de colores:

Aprender las tablas de multiplicar pintando y saltando. ¿Qué es multiplicar? Alén de Ningures

De esta manera, cuando todas las tablas están coloreadas, se puede observar que los números que están pintados de un determinado color forman también una tabla determinada.

Vamos a verlo.

Esta escalera tiene la tabla del tres:

 

Aprender las tablas de multiplicar del uno al diez con juegos e historias divertidas.

 

Pero también encontramos la tabla del tres si tomamos los números pintados de color rojo de todas las tablas.

 

Comprender la propiedad conmutativa de la multiplicación. Actividades didácticas.

 

Si tomamos todos los números pintados en un color determinado, tenemos la tabla del número que corresponde al paso de ese color. El quinto paso de cada tabla, por ejemplo, se pintó siempre de color lila. Entonces, todos los números coloreados de lila forman la tabla del cinco.

 

Didáctica de las matemáticas. Educación primaria. Jugar para comprender. Alén de Ningures.

Esto no es más que una expresión de la propiedad conmutativa de la multiplicación.

En todas las tablas hay dos parámetros. Uno es el número de escalones que se supera en cada paso. Este es el que define de qué tabla se trata.

El otro parámetro es el número de pasos que se van dando. En todas las tablas hay un primer paso, un segundo paso, un tercer paso, …

Cuando el caballero sube los peldaños de tres en tres el primer paso es equivalente a decir una vez tres; el segundo paso serán dos veces tres, y se pisa el escalón número seis; el tercer paso son tres veces tres y ahora se pisa el escalón número nueve.

Aprender las tablas de multiplicar jugando, pintando y saltando. Contar de tres en tres.

Así hasta llegar al décimo paso en el que se alcanza el escalón número treinta.

En virtud de la propiedad conmutativa de la multiplicación, si tomamos el tercer paso de cada tabla obtenemos la secuencia de números equivalente a la tabla del tres. En la tabla del cinco, por ejemplo, el tercer paso equivale a tres veces cinco o, como decimos normalmente en España, tres por cinco. Y este número, quince, es el mismo que se obtiene cuando multiplicamos cinco por tres, es decir, cuando damos el quinto paso subiendo la escalera de tres en tres.

 

La propiedad conmutativa de la multiplicación. ¿Qué es multiplicar? Alén de Ningures.

 

En la tabla del seis, el tercer paso equivale a tres por seis y el resultado es el mismo que cuando multiplicamos seis por tres. Por lo tanto, llegamos al mismo escalón (el número 18) cuando damos el tercer paso subiendo de seis en seis y cuando damos el sexto paso subiendo de tres en tres.

 

Alén de Ningures. Didáctica de las matemáticas en educación primaria. ¿Qué es multiplicar?

 

Por eso, los terceros pasos de cada tabla van configurando también la tabla del tres. Y los cuartos pasos la tabla del cuatro, los quintos pasos la tabla del cinco, etc.

Esto se visualiza claramente al usar la misma secuencia de colores en todas las tablas. Y aunque no se comprenda totalmente de manera intelectual, se despierta una intuición que más adelante facilitará la comprensión.

En MUCHO MÁS QUE MULTIPLICAR, nuestro segundo libro sobre la multiplicación, la propiedad conmutativa aparece plasmada, ahora de forma más abstracta, en la tabla de Pitágoras. Esta tabla se construye rellenando una cuadrícula en la que se escriben, en cada fila, los números de las tablas de multiplicar en orden. Una vez completada, las mismas tablas aparecen en las columnas. Como es una tabla que contiene a todas las tablas del 1 al 10, la llamamos “la tabla de las tablas”.

 

La tabla de multiplicar de Pitágoras. Mucho más que multiplicar. Alén de Ningures.

 

En esta “tabla de las tablas” la diagonal que forman los números cuadrados se comporta como la superficie de un espejo, pues los números que aparecen a un lado de la diagonal se reflejan en el otro. Y esto se explica, también, en virtud de la propiedad conmutativa de la multiplicación.

 

Recursos para aprender las tablas de multiplicar. Alén de Ningures. Tabla de Pitágoras. Números cuadrados.

 

Por encima de la diagonal encontramos la casilla en la que se cruzan la columna del siete con la fila del tres. En esta casilla aparece el número 21, que es el resultado de multiplicar siete por tres.

 

La tabla de multiplicar de Pitágoras. Una calculadora arcaica. Alén de Ningures. Cuadernos para aprender a multiplicar.

 

Si buscamos ahora, por debajo de la diagonal, la casilla en la que se cruzan la fila del siete y la columna del tres, encontraremos también el número 21, que es el resultado de multiplicar tres por siete.

La tablas de Pitágoras. Propiedad conmutativa de la multiplicación. Mucho más que multiplicar.

Ambas casillas están en posiciones simétricas con respecto a la diagonal.

Visualizar la propiedad conmutativa de la multiplicación en la tabla de Pitágoras. Alén de Ningures.

 

A la hora de aprender de memoria las tablas de multiplicar, es muy útil conocer esta propiedad, pues nos ahorra la memorización de la mitad de los números.

Ahora bien, es importante dejar claro desde el principio que multiplicar invirtiendo el orden de los factores:

 

Aprender matemáticas jugando, reflexionando, comprendiendo y disfrutando. Alén de Ningures.

En la historia de la dama y el caballero ya nos dimos cuenta de que se puede llegar al mismo escalón de dos formas diferentes. Al escalón número 21, por ejemplo, se llega en el séptimo paso cuando subimos de tres en tres y también en el tercer paso cuando subimos de siete en siete.

 

Distintos procesos y mismo resultado. Propiedad conmutativa. Aprender pensando y comprendiendo.

 

Es obvio que no estamos haciendo lo mismo en los dos casos. Llegamos al mismo escalón, pero los procesos son diferentes.

La diferencia en los procesos o situaciones que nos llevan a un mismo resultado es mucho más evidente en el ejemplo que mostramos al final del libro ¿QUÉ ES MULTIPLICAR?

Empezamos preguntándonos: ¿Es lo mismo tres por cuatro que cuatro por tres? Podría parecer que sí, porque las dos operaciones dan como resultado doce. Pero si nos paramos a reflexionar sobre cada una de las situaciones, veremos que no es lo mismo.

Un ejemplo de una situación en la que multiplicamos tres por cuatro es esta: tenemos tres gatos, cada gato tiene cuatro patas. En total hay doce patas:

 

Tablas de multiplicar. Aprendizaje significativo. Qué es multiplicar. Alén de Ningures.

 

Pensemos ahora en una situación equivalente en la que tenemos que multiplicar cuatro por tres. Tendríamos que imaginar cuatro gatos que tienen tres patas cada uno:

 

Una forma refrescante de aprender las tablas de multiplicar. Alén de Ningures. Mahabaraja.

 

En este caso también hay doce patas en total pero ¡Está claro que no es lo mismo!

Si os parece que este tipo de reflexiones pueden ayudar a vuestros niños a comprender y a apreciar las matemáticas, no dejéis de echar un vistazo a nuestros cuadernos para multiplicar. En la tienda tenéis más información y enlaces a otras entradas de blog en las que os contamos más detalles de cada uno de los libros.

Hasta la semana que viene.

 

 

 


Dejar un comentario


Por favor tenga en cuenta que los comentarios deben ser aprobados antes de ser publicados