Matemáticas amables (3) Por qué con mas fáciles los problemas de sumar que los de restar (Y cómo hacer que los niños los comprendan).


La resolución de problemas es quizás el eje principal de la actividad matemática en la enseñanza básica, pues pone en juego tanto los conocimientos matemáticos como la capacidad de razonamiento para aplicarlos.

Sin embargo, las últimas calificaciones obtenidas en el informe PISA ponen de manifiesto un déficit en el desempeño de nuestros alumnos en relación a esta tarea.

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En este post vamos a poner sobre la mesa varios aspectos relacionados con la resolución de problemas matemáticos en los primeros años escolares. Esperamos que sirvan para comprender algunas de las dificultades con las que se enfrentan los alumnos y los maestros cuando se plantean determinados problemas.

Una situación: varios problemas

Vamos a empezar con un ejemplo muy sencillo:

Una ardilla está almacenando frutos secos para pasar el invierno. Ya tiene 10 nueces escondidas en un agujero del tronco del árbol donde vive. Hoy ha encontrado 3 avellanas y las ha guardado junto a las nueces. ¿Cuántos frutos secos ha recopilado ya?

En este problema el planteamiento está claro. Es fácil saber que se trata de una situación de adición y que la operación que hay que aplicar es la suma.

 

10 + 3 = O
********** + *** = O

Ahora veámoslo desde otro punto de vista:

Una ardilla está almacenando frutos secos para pasar el invierno. Ya tiene 10 nueces escondidas en un agujero del tronco del árbol donde vive. Hoy ha encontrado algunas avellanas y las ha guardado junto a las nueces. Después ha contado los frutos reunidos y ha visto que ya tiene 13 frutos secos. ¿Cuántas avellanas ha encontrado hoy?

¿Qué diríais que hay que hacer para resolver este problema? ¿Qué operación elemental hay que aplicar?

Está claro que la situación que se presenta es la misma: es una situación de adición. ¿Por qué, entonces, hay que hacer una resta para encontrar la solución?

En el libro Didáctica de las matemáticas (PEARSON PRENTICE HALL, 2003), Juan Miguel Belmonte hace una clasificación de los problemas de adición y sustracción donde encontramos la clave para resolver esta cuestión.

Uno de los tipos principales de problemas de suma y resta son los de transformación. Son aquellos en los que a una cantidad inicial se le añade o se le sustrae otra (transformación) para obtener una cantidad final.

Cantidad Inicial + transformación = Cantidad Final

Cantidad Inicial – transformación = Cantidad Final

Los dos problemas que hemos puesto de ejemplo son problemas de transformación y ambos presentan una situación aditiva: una cantidad se añade a la cantidad inicial.

La diferencia entre los dos problemas está en el planteamiento.

En el primero, la incógnita es la cantidad final :

Cantidad Inicial + transformación = ¿Cantidad Final?

 

10 + 3 = O
********** + *** = O

 

mientras que en el segundo, lo que hay que averiguar es la cantidad de transformación:

Cantidad Inicial + ¿transformación? = Cantidad Final

 

10 + O = 13
********** + O = *************

 

Podríamos plantear un tercer problema a partir de esta misma situación si dejamos como incógnita la cantidad inicial. Así:

Una ardilla está recopilando frutos secos para pasar el invierno. Ya tiene algunas nueces escondidas en un agujero del tronco del árbol donde vive. Hoy ha encontrado 3 avellanas y las ha guardado junto a las nueces. Después ha contado los frutos reunidos y ha visto que ya tiene 13 frutos secos. ¿Cuántas nueces tenía al principio?

En este caso:

¿Cantidad InicialI? + transformación= Cantidad Final

 

O + 3 = 13
O + *** = *************

Lo que aclara Belmonte es que, aunque se trate de la misma situación, la dificultad del problema varía con el planteamiento. Es más fácil comprender y resolver un problema de transformación en el que la incógnita sea la cantidad final, que el mismo problema cuando la incógnita es la transformación o la cantidad inicial.

Veamos por qué.

Retroceder en el tiempo

En primer lugar tenemos el asunto del transcurrir del tiempo.

En el caso de que la incógnita sea la cantidad final, el transcurso del razonamiento va hacia adelante, al igual que el devenir cronológico. Solo tenemos que seguir la secuencia de los hechos y aplicar la operación necesaria:

La ardilla tiene 10 nueces, luego añade 3 avellanas, si sumamos la cantidad de nueces y la cantidad de avellanas, tenemos la cantidad total de frutos secos.

Sin embargo, en los dos otros casos (incógnita de la transformación o de la cantidad inicial), el razonamiento no es tan sencillo, pues en ambos casos exige retroceder en el tiempo.

Si sabemos que la ardilla tiene al principio 10 nueces y, al final, 13 frutos secos, tenemos que volver atrás para pensar en cuántas avellanas encontró y añadirlas a la cantidad inicial, de forma que la suma de las dos cantidades sea 13.

De manera similar, si sabemos que la ardilla ha encontrado 3 avellanas y ahora tiene 13 frutos secos, tenemos que pensar retrospectivamente en cuántas nueces tenía que tener al principio para que al sumarlas a las 3 avellanas obtengamos como resultado 13.

Este retroceso en el tiempo que a nosotros nos puede parecer sencillo, no lo es tanto para los escolares de los primeros años de educación primaria. De hecho, se considera que esto puede ser realizado por los niños a partir de que alcanzan la etapa de maduración conocida como “de las operaciones concretas”. En esta etapa del desarrollo cognitivo empieza a usarse la lógica siempre y cuando se trate de situaciones concretas y no abstractas. Esta etapa tiene lugar entre los 7 y los 11 años, es decir, a lo largo de la etapa de educación primaria.

Poner la suma del revés

Pero esta no es la única dificultad.

Además del tiempo, también hay que invertir la operación. Casi todos nosotros, tras leer este enunciado:

Una ardilla está recopilando frutos secos para pasar el invierno. Ya tiene 10 nueces escondidas en un agujero del tronco del árbol donde vive. Hoy ha encontrado algunas avellanas y las ha guardado junto a las nueces. Después ha contado los frutos reunidos y ha visto que ya tiene 13 frutos secos. ¿Cuántas avellanas ha encontrado hoy?

hemos pensado: “Hay que restar”.

Pero ¿cómo explicarle al alumno que, aunque unos frutos se añaden a los que ya había, hay que aplicar la operación de la resta para encontrar el resultado? ¿Acaso sabemos nosotros por qué es así?

Lo que ocurre cuando decimos que hay que restar es que nosotros, como adultos, hemos invertido mentalmente la operación. Sabemos que para hallar la transformación hay que restar la cantidad inicial de la cantidad final:

Transformación = Cantidad Final – Cantidad Inicial

Para el alumno, sin embargo, resultaría mucho más claro y obvio partir de esta representación:

10 + O = 13

********** + O = *************

 

y decir que tenemos que hallar la diferencia entre la cantidad inicial y la cantidad final, en este caso, entre 10 y 13. La pregunta adecuada es: ¿cuántas avellanas hay que añadir a las 10 nueces para tener 13 frutos secos? o ¿cuánto le falta a 10 para llegar a 13?

De esta manera, el alumno visualiza y comprende el razonamiento y es capaz de aplicarlo. Con números pequeños, la estrategia que el alumno utilizará para calcular la solución será la búsqueda del complemento, es decir, de la diferencia entre la cantidad inicial y la final. Para ello solo tiene que contar las unidades que hay desde la cantidad inicial hasta la cantidad final.

Lo mismo vale para el caso en que la incógnita sea la cantidad inicial:

¿Cantidad Inicial? + transformación= Cantidad Final

O + 3 = 13

O + *** = *************

 

El razonamiento ahora sería: Después de añadir 3 frutos secos hay 13 frutos secos. ¿Cuántos había antes de añadir los 3 últimos? El procedimiento para averiguarlo es calcular la diferencia entre 3 y 13 o bien pensar retrospectivamente (si ahora tengo 13, ¿cuántos tenía antes de añadir 3?)y restar a los 13 que tenemos ahora los 3 que se han añadido.

Y si en vez de poner quitamos …

Todo lo que hemos dicho hasta ahora sobre los problemas de transformación se referían a transformaciones aditivas. Pero hay también transformaciones sustractivas, en las que la transformación implica una disminución de la cantidad inicial:

Una ardilla está almacenando frutos secos para pasar el invierno. Ya tiene 10 nueces escondidas en un agujero del tronco del árbol donde vive. Durante la noche, un ratoncito de campo que vive bajo las raíces del árbol ha encontrado su escondrijo y se ha comido 3 nueces. ¿Cuántas nueces quedan en el almacén de la ardilla?

En este caso, la operación que hay que utilizar para resolver el problema es la resta, que se asocia directamente con el concepto de sustraer:

Cantidad Inicial - transformación = ¿Cantidad Final?

Como veis, es un caso completamente diferente al de diferencia entre dos cantidades y por eso es muy importante distinguir entre estas dos situaciones y usar los términos que corresponden a cada una.

En los problemas sustractivos, como en los aditivos, se pueden dar los tres mismos casos de situación de la incógnita: cantidad final, transformación o cantidad inicial. Podéis entreteneros pensando en enunciados para los dos últimos casos de transformaciones sustractivas.

En el segundo caso, con la transformación como incógnita, el planteamiento sería:

10 – O = 7

y la solución se encontraría hallando la diferencia entre 10 y 7 pero contando hacia atrás en lugar de hacia adelante.

En el tercer caso, que representamos así:

O – 3 = 7

el razonamiento que hay que hacer es ¿cuántas nueces tendría que haber para que, al quitar 3 nos queden 7? La solución a este planteamiento se puede encontrar por tanteo, probando con diferentes números hasta encontrar el que cumpla esa condición. Pero también podemos usar un razonamiento retrospectivo para reconstruir la cantidad inicial. En este caso encontraremos la solución sumando a la cantidad final la cantidad sustraída.

Como veis, estos razonamientos no son tan simples como podría parecer a simple vista. Por eso es importante tomar conciencia del nivel de dificultad que encierra la resolución de un enunciado antes de proponérselos a los alumnos y, a continuación, guiarles para que construyan una representación que facilite el razonamiento y la operación que hay que aplicar.

Aquí os dejamos una tabla que recoge todos los casos de estos dos tipos de problemas con la operación correspondiente:

SITUACIÓN ADITIVA

OPERACIÓN

SITUACIÓN SUSTRACTIVA

OPERACIÓN

10 + 3 = O

suma

10 – 3 = O

resta

10 + O = 13

diferencia aditiva

10 – O = 7

diferencia sustractiva

O + 3 = 13

diferencia aditiva /resta

O – 3 = 7

tanteo/ suma

 

Si quieres conocer otras ideas interesantes para poner en práctica en el aprendizaje de las matemáticas, no te pierdas nuestras entradas de las semanas anteriores:

https://www.alendeningures.com/blogs/news/matematicas-amables-1-la-cara-oculta-pero-no-tanto-de-las-matematicas

https://www.alendeningures.com/blogs/news/amables-matematicas-2-4-ideas-para-empezar-con-buen-pie-el-aprendizaje-de-las-matematicas


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