NÚMEROS TRIANGULARES: DE TRIÁNGULOS A CUADRADOS


La semana pasada os mostramos los números que aparecen en una canción tradicional de estructura acumulativa. Podéis leer la entrada aquí.

La canción se titula LA CENA DE LA NOVIA y aparece en un disco de Joaquín Díaz. En ella se enumeran los regalos que recibe una novia durante doce noches. El número de regalos entregados va aumentando cada día. El primer día se entrega 1 perdiz

Números triangulares. Juegos y enigmas matemáticas educación primaria.

 

el segundo día se entregan 1 perdiz y 2 tórtolas

Juegos con números. Didáctica matemáticas primaria. Matemáticas recreativas.

 

el tercer día se entregan 1 perdiz, 2 tórtolas y 3 palomitas blancas.

Una canción tradicional para practicar matemáticas jugando y aprendiendo. Números triangulares.

La serie continúa así hasta la decimosegunda noche.

Analizando el número de regalos recibidos, observamos que se trata de la serie de los números triangulares. Lo representativo de estos números es que se pueden colocar en forma de triángulo:

Jugar con los numeros triangulares. Didáctica matemáticas recreativas.

Estos números se obtienen a partir de la suma de números sucesivos:

Ejercicios y actividades de matemáticas recreativas educación primaria. Aprendizaje significativo

 

Si designamos a cualquier número triangular como Tn , diremos que:

Números triangulares. Proceso visual para comprender la fórmula general. Matemáticas significativas.

En seguida os daréis cuenta de que no hace falta hacer todas las sumas cada vez. Para obtener el siguiente número de la serie solo hay que sumarle el número natural que sigue:

Jugar y pensar con números triangulares. Una canción tradicional con muchas matemáticas.

Lo que ocurre es que, para obtener un número triangular de esta manera, tenemos que conocer el número triangular inmediatamente anterior. En la siguiente expresión:

Matemáticas en educación primaria. Actividades a partir de una canción y de números triangulares.

para averiguar el valor de T12 tengo que sumar 12 al valor de T11, pero si no conozco el valor de T11 no podré obtenerlo de esta manera y tendré que hacer la suma de los números desde el 1 hasta el 12.

Sin embargo hay una fórmula para calcular el valor de cualquier número triangular sin conocer el valor del número anterior. Es esta:

Fórmula general para obtener números triangulares. Demostración gráfica. Matemáticas con sentido.

Tomemos, por ejemplo, T5. Según la fórmula, su valor se puede calcular así:

Aprender matemáticas en primaria reflexionando y razonando. Números triangulares. Fórmulas.

Efectivamente:

 Matemáticas primaria. Actividades, juegos, canciones, razonamiento visual, números triangulares.

Vamos a llegar a esa fórmula paso a paso y acompañando el razonamiento de su representación gráfica.

Representaremos T5 como una torre triangular formada por recuadros para visualizar mejor lo que queremos mostrar:

Representación gráfica para demostrar la fórmula general de los números triangulares.

Ahora vamos a tomar T5 dos veces y giraremos una de las torres triangulares para colocarla sobre la otra de esta manera:

Demostración gráfica de la fórmula de los números triangulares. Matemáticas imaginativas.

Ahora vemos que se ha formado un rectángulo. Este rectángulo tiene 5 recuadros en un lado y 6 recuadros en el otro.

Comprender matemáticas a partir de la representación visual. Fórmula de números tringulares.

Por lo tanto, la superficie que ocupa tiene 30 recuadros.

Como el rectángulo está formado por las dos torres triangulares iniciales, que son iguales, podemos afirmar que la superficie que ocupa cada una de esas dos torres triangulares es la mitad de la superficie del rectángulo, es decir, 15 recuadros.

Comprender la fórmula de los números triangulares con representaciones gráficas.

Por lo tanto, la torre triangular que tiene de base 5 recuadros está compuesta por 15 recuadros. Así que 15 es el numero triangular que corresponde a n = 5.

Como la fórmula que hemos presentado es una fórmula general, nos sirve para averiguar cualquier número triangular. Si queremos saber cuál es T12 :

Fórmula de los números triangulares. MAtemáticas recreativas e imaginativas. Educación primaria.

Y ahora ya comprendemos que lo que hemos hecho al utilizar esta fórmula es lo siguiente:

Hemos formado un rectángulo encajando dos torres triangulares de base 12 recuadros. Este recuadro tiene un lado de 12 recuadros y otro de 13 recuadros. Por lo tanto, su superficie está formada por 12 x 13 = 156 recuadros. Y cada una de las torres triangulares que forman el rectángulo contienen 156/ 2 = 78 recuadros.

Matemáticas imaginativas. Comprender matematicas a partir de imágenes y representaciones gráficas.

DE TRIÁNGULOS A CUADRADOS

Ahora que ya sabemos cómo averiguar el valor de cualquier número triangular, vamos a mostraros otra propiedad de estos números que también podemos visualizar fácilmente.

La propiedad es esta: si a un número triangular le sumamos el número triangular inmediatamente inferior, obtenemos el cuadrado del número triangular inicial. Esto implica que la suma de dos números triangulares consecutivos es un número cuadrado.

Números triangulares y números cuadrados. Exploramos la relación a partir de una canción tradicional.

Por ejemplo:

Números triangulares y números cuadrados. Relación y visualización gráfica. Matemáticas imaginativas para primaria.

A través de estas imágenes se comprende visualmente esta propiedad:

 

Comprender matemáticas a partir de imágenes. Números triangulares, números cuadrados.

Comprender matemáticas en educación primaria a partir de actividades recreativas y significativas

 

Esperamos que hayáis disfrutado de este recorrido imaginativo y visual y que os haya servido para dar sentido a fórmulas que cuando se presentan escritas parecen muy abstractas e inaccesibles.

Si os gusta este método para aprender matemáticas, os recordamos que tenemos unos materiales muy interesantes para abordar el estudio de las tablas de multiplicar comprendiendo el significado de la multiplicación.

Podéis verlos aquí:

https://www.alendeningures.com/collections/matematicas

 

Aprender a multiplicar leyendo, pintando, jugando, pensando y comprendiendo.

Y también os dejamos el enlace a otra canción con la misma estructura acumulativa y con los mismos números. Es una canción inglesa que se canta en Navidad y con la que podéis hacer el mismo trabajo que con LA CENA DE LA NOVIA pero en inglés.

 

Twelve days of Christmas. Números triangulares en una canción tradicional.

 

Twelve days of Christmas

https://www.youtube.com/watch?v=9ZL1u-0Tycc

Esperamos que os guste tanto como a nosotras. Hasta la semana que viene.

 


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