RESTAR ES DÍFÍCIL (2)


Cuando se acumulan las llevadas

La semana pasada comenzamos a hablar de la resta y recordamos el método Waldorf para realizar restas con llevadas, comprendiendo el fundamento de la técnica que empleamos. Comprender lo que hacemos es fundamental para avanzar en matemáticas, es lo que nos permite enfrentarnos a las dificultades y superar obstáculos utilizando nuestra capacidad de razonar. Si conocemos la herramienta que estamos utilizando y comprendemos cómo funciona, podemos manipularla para adaptarla a las necesidades que se nos presenten.

Veamos qué dificultades nos podemos encontrar cuando empleamos el algoritmo de la resta.

Para hacer esta resta tendríamos que abrir varias bolsas:

Restas con llevadas sucesivas. Método de preparar la resta. Matemáticas educación primaria.

Lo que se hace en la escuela Waldorf y ya se está generalizando en muchas otras escuelas es “preparar la resta”. Para ello, antes de empezar a restar nos aseguramos de que haya suficientes unidades de cada orden para extraer la cantidad que indica el sustraendo. En este caso vamos a necesitar aumentar las unidades, las decenas y las centenas.

Didáctica matemáticas. Restar con llevadas o acarreos. Método Waldorf. Preparar la resta.

Para conseguir unidades suficientes tomamos una decena, es decir, abrimos una bolsa roja:

Enseñar a restar con llevadas o acarreos. Pedagogía Waldorf. Aritmética manipulativa y activa.

Para conseguir decenas suficientes tomamos una centena

Restas con llevadas sucesivas. Matemáticas aprendizaje significativo. Pedagogía Waldorf.

y para conseguir centenas suficientes tomamos una unidad de millar

Restar con llavadas sucesivas. Aritmética. Algoritmos. Didáctica matemáticas Waldorf.

Y ahora ya podemos hacer la resta quitando del minuendo las cantidades que indica el sustraendo:

Cómo enseñar a restar con llevadas sucesivas. Matemáticas en la escuela Waldorf.

En esta otra resta nos pueden desconcertar en un primer momento los ceros del minuendo:

Resta con ceros en el minuendo. Didáctica de  las matemáticas en educación primaria.

porque cuando vamos a tomar 10 unidades de la decena nos encontramos con que no tenemos ninguna decena disponible. Vamos entonces a buscar en las centenas, pero tampoco tenemos centenas. Tenemos que llegar hasta las unidades de millar, pero veréis que esto no supone ningún problema.

Tomamos 10 centenas de una de las 7 unidades de millar que tenemos, o lo que lo mismo, abrimos una bolsa azul:

Restar con ceros en el minuendo. Enseñanza manipulativa y significativa de las matemáticas.

Ahora ya podemos tomar 1 centena de las 10 que hemos obtenido a partir de la unidad de millar y convertirla en 10 decenas, es decir, ya podemos abrir 1 bolsa verde y extraer 10 bolsas rojas:

Restas con llevadas sucesivas. Método de preparar la resta. Matemáticas manipulativas primaria Waldorf.

y por último, tomamos 1 decena para dársela a las unidades, o sea, abrimos 1 bolsa roja para obtener 10 unidades sueltas

Cómo enseñar a restar con ceros en el minuendo. Pedagogía Waldorf educación primaria.

¡Ya podemos hacer la resta!

Restar con sucesivas llevadas o acarreos. Enseñanza de las matemáticas. Aprendizaje significativo.

Veamos un último ejemplo explicado gráficamente:

Método Waldorf. Visual y manipulativo. Matemáticas activas y significativas.

Lo que nosotros aprendimos 

Ahora veamos cómo haríamos esta resta con el método que nos enseñaron. Para hacer esta resta:

Restar con llevadas o acarreos. Método tradicional vs método Waldorf. Comprender las matemáticas.

como 5 es menor que 7 y no podemos restar 7 menos 5, le añadimos al 5 en nuestro pensamiento una decena y lo convertimos en 15. Después restamos 15 menos 7 y decimos para nuestros adentros: “15 menos 7 son 8 y me llevo 1”.

Cómo explicar a los niños las restas con llevadas. Matemáticas divertidas y significativas.

Pero ¿a dónde me la llevo? Este ha sido durante mucho tiempo uno de los grandes misterios de la aritmética tradicional. Y ahora vamos a descubrirlo.

A nosotros nos enseñaron a añadir la llevada a la siguiente cifra del sustraendo. Es decir, las 10 unidades que conseguíamos no se las quitábamos a la unidad de orden superior del minuendo como hacemos cuando “preparamos la resta”

Restas con llevadas: método tradicional vs método de preparar la resta.

sino que se la añadíamos a la unidad de orden superior del sustraendo

Cómo enseñar a los niños a restar con llevadas de manera significativa. Matemáticas para todos.

¿Qué sentido tiene esto? ¿Por qué lo hacemos así? ¿Y por qué funciona?

El motivo de hacerlo de esta manera es que, con el método de “preparar la resta” se puede presentar el problema de encontrar ceros en el minuendo que nos obliguen a remontarnos hasta otra cifra superior que no sea cero y de la que sí podamos extraer 10 unidades. Es lo que ocurría, por ejemplo, en este caso

Preparar la resta. Un método más intuitivo para restar con llevadas o acarreos.

Para evitar esta situación a alguien se le ocurrió que, en lugar de restar 1 unidad a la cifra del minuendo, se le podía añadir 1 unidad a la cifra correspondiente del sustraendo. Pero ¿por qué no cambia el resultado aunque lo hagamos de una manera o de otra?

Si queréis tratar de comprender por vosotros mismos la explicación matemática de esta técnica, dejar de leer aquí.

Si queréis una ayuda para comprenderlo, podéis leer esta historia:

Pedro fue a la pastelería a recoger una docena de pasteles que había encargado su madre Carmen. Esa tarde Carmen tenía merienda con un grupo de amigas y vecinas y quería convidarlas a pasteles. Le encargó a su hijo que fuera a recogerlos y que, de regreso, pasara por la casa de los abuelos y les dejara un pastel a cada uno. Ella tenía suficiente con 10 pasteles.

Pedro recogió los pasteles. Olían de maravilla. Olían demasiado bien como para resistirse, así que no se resistió y se comió uno. Después pasó por la casa de sus abuelos y les dejó un pastel a cada uno. Pedro sabía que quedaban 9 pasteles y también sabía que su madre esperaba que hubiera 10 pasteles. Pedro no quería confesarle a su madre que se había comido un pastel para que no se enfadara.

Así que cuando llegó a casa, entregó a su madre la bandeja con 9 pasteles y le dijo que se había encontrado a la tía Jacinta en casa con los abuelos y, por supuesto, le había dejado un pastel también a ella.

Muy bien hecho, hijo”, le dijo Carmen, y le recompensó con una buena propina por hacer tan bien el recado.

Si escribimos los números correspondientes a esta historia tenemos que, Pedro recogió 12 pasteles y se comió 1:

12 – 1 = 11 pasteles

Así que, cuando llegó a casa de sus abuelos había 11 pasteles. Les dio uno a cada uno, de manera que quedaban:

11 – 2 = 9 pasteles

Pero para que su madre no se enfade, Pedro omite el hecho de que se ha comido un pastel y cuenta la historia de manera que, al llegar a casa de sus abuelos todavía había 12 pasteles. Allí deja 3 pasteles, 2 para los abuelos y 1 para la tía Jacinta, por lo tanto al llegar a su casa quedaban 9 pasteles.

En los dos casos quedan 9 pasteles, pero en el primer caso escribiríamos así la secuencia numérica:

(12 – 1) – 2 = 9

11 – 2 = 9

y en el segundo caso la escribiríamos así:

12 – (2 + 1) = 9

12 – 3 = 9

Y esto es precisamente lo que hacemos cuando, en lugar de quitar una unidad a la cifra del minuendo, se la añadimos a la del sustraendo.

Desde luego, es una solución ingeniosa. Y cuando se trata de hacer cuentas lo más rápidamente posible, es el método más eficaz. Pero si lo que queremos es comprender lo que hacemos, este método nos lo pone más difícil que el de preparar la resta.

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